Разложение матрицы

[Unconnected]

Не стал перепечатывать, на всякий случай. Т.е. любую матрицу можно представить так, что элементы будут только на диагонали? Правда?

[ewert]

Unconnected в сообщении #536088 писал(а):

Т.е. любую матрицу можно представить так, что элементы будут только на диагонали? Правда?

Неизвестно. Смотря что считать элементарными преобразованиями.

[Unconnected]

1) К строке прибавить другую строку, умноженную на число
2) Поменять строки местами
3)Домножить строку на число
И всё то же, но для столбцов.

Просто не могу поверить, что матрица, забитая числами, может стать единичной O_o

[Sonic86]

Unconnected в сообщении #536097 писал(а):

Просто не могу поверить, что матрица, забитая числами, может стать единичной O_o

А метод Гаусса видели?

[Unconnected]

А, ну понял.. стоило руками пощупать это дело) Тут на методе приведения к трапециевидной форме завязано.
А вот ещё: матрица обратима - равносильно тому, что она представима в виде произведения матриц элементарных преобразований ( это такие матрицы, при умножении на которые выполняются преобразования, которые выше писал, и они обратимы). Мне это жутко неочевидно.. Как бы обосновать попроще, в обе стороны?

[ИСН]

Вперёд - это равносильно Вашему первому вопросу (как её представить в виде такого произведения? да вот так!), а назад - ну, если матрицы A и B обратимы, то их произведение, оно как бы того...

[мат-ламер]

А что там на фотографии обозначает буква $K$? Может ли это быть кольцо многочленов? Для таких матриц можно чуть по-другому теорию строить.

[Unconnected]

Внезапно понял, как O_o)) ну хорошо, а вот обратно.. пишу, к примеру:

$AA^{-1}=E$
$BB^{-1}=E$

умножаю.. но что-то вывести не получается, что хочется..
K это произвольное поле.

[ИСН]

А что Вам хочется?

[Unconnected]

Хочу, чтобы.... $(AB)(AB)^{-1}=E$

Хотя, мб, тут можно использовать свойство $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$, что в свою очередь тоже наверное можно доказать в лоб. Тут это равенство как-то (как?) объясняется тем, что матрицы принадлежат какой-то группе...

[Joker_vD]

Вы не поверите, но $(AB)(AB)^{-1}=E$ просто по определению того, что вообще такое $(AB)^{-1}$...

[Unconnected]

Ну т.е. надо показать, что $(AB)^{-1}$ существует вообще, то есть вывести из имеющихся равенств.

И да, я ведь правильно понимаю, что матрица 100 на 200, забитая числами от 1 до 20000, может быть представлена в виде $E_K$, окаймленной нулями?

[Joker_vD]

Если существуют $A^{-1}$ и $B^{-1}$, то существует и $B^{-1}\!A^{-1}$, которое является обратным для $AB$ — проверьте это прямо в лоб.

(Оффтоп)

Что за конский пробел в $B^{-1}A^{-1}$? Не сработал кернинг, жаль :-(

-- Вт фев 07, 2012 23:37:49 --

Да, вы можете привести ее к такому виду с помощью ЭП: сначала причесываете методом Гаусса до трапецевидного состояния, потом, переставляя местами столбцы, добиваетесь треугольного вида. Ну, а теперь уж все легко — запускаете обратный ход метода Гаусса, и все.

А можно сразу прогнать прямой-обратный ходы. Дело вкуса.

[ИСН]

Unconnected, мне кажется неуместным Ваше употребление слов "представлена в виде". Этак я вон тоже скажу, что она может быть представлена в виде матрицы из сплошных нулей, и очень запросто: зачеркнуть все числа, поставить нули. Нравится? Нет? Почему?

[Unconnected]

Цитата:

употребление слов "представлена в виде"

Нну да, преобразована..)

Цитата:

сначала причесываете методом Гаусса до трапецевидного состояния, потом, переставляя местами столбцы, добиваетесь треугольного вида.

Причесать умею.. А что значит к треугольному? Может, чтобы кусок матрицы был треугольной матрицей, и её окаймляли нули? Примерно понятно с этим, у нас называется "теорема о PDQ-разложении", кстати.

Тут такое чудо ещё: чтобы найти обратную матрицу, пишем исходную, рядом справа единичную, и ЭП-ми надо добиться, чтобы единичная стала слева, а справа внезапно появится обратная. И без обоснований.. что это за приём вообще приписывания справа?