Разложение матрицы

[svv]

Unconnected писал(а):

Правильно ли понимаю, что если матрица квадратная, то верно, что пространство строк совпадает с пространством столбцов (потому что якобы образующие одинаковые, если рассматривать их как элементы $R^n$).

Если только Вы не имели в виду предварительное приведение к диагональному виду (а его иметь в виду не надо), то -- нет. Например, вот матричка ранга 1:
$\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$
Она имеет одномерное пространство столбцов и одномерное пространство строк, оба -- подпространства в $\mathbb{R}^2$. Но пространство столбцов состоит из векторов вида $a\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$, а пространство строк -- из векторов вида $a\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$.
Вот что верно -- что размерности пространства строк и пространства столбцов равны. Более того, это верно, даже если матрица неквадратная. Потому что обе размерности равны рангу матрицы.

[Unconnected]

Цитата:

Если только Вы не имели в виду предварительное приведение к диагональному виду (а его иметь в виду не надо)

Вот его и имел, почему не надо? Типа такой
$\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0& 0 &0 \end{pmatrix}$
Любую матрицу можно к трапециевидной, и оттуда уже к такой.. и это по сути есть образующие вроде бы. Кстати, если $\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$ переставить местами столбцы, то пространства станут равными O_o

[svv]

Тогда да, но Вы не должны требовать, чтобы стандартные понятия "пространство строк" и "пространство столбцов" включали операцию приведения к диагональному виду, которая нужна Вам в Вашем частном случае.

В моей матрице перестановка столбцов не изменит пространство столбцов, но изменит пространство строк.