симплектическое многообразие

[Oleg Zubelevich]

Задано симплектическое многообразие $(M,\omega),\quad \dim M=2m.$ Имеется гамильтонова система с гладким гамильтонианом $H:M\to \mathbb{R},\quad dH(x)\ne 0,\quad x\in M$. Рассмотрим уровень энергии $M_h=\{x\in M\mid H(x)=h\}.$

1) Доказать, что всякое гладкое многообразие $V\subset M_h,\quad \dim V=2m-2$ трансверсальное к векторному полю гамильтоновой системы с гамильтонианом $H$ является симплектическим относительно $\omega\mid_{V}$.

2) Предположим определено еще одно многообразие $W\subset M_h,\quad \dim W=2m-2$ трансверсальное к векторному полю гамильтоновой системы с гамильтонианом $H$. Доказать, что если c помощью фазового потока $g^t_H(x)$ каждому $x\in W$ поставлена в соответствие точка $y=g^{\tau(x)}_H(x)\in V$, то полученное отображение $(W,\omega\mid_W)\to (V,\omega\mid_V)$ -- каноническое. Здесь через $\tau(x)>0$ обозначено минимальное время при котором $g^{\tau(x)}_H(x)\in V$.