Два катка и плита

[anatoliy_kiev]

obar почему же малоизвестный. В том же сборнике есть задачи (в соответствующем разделе), которые с его помощью и решаются.

[ewert]

(Оффтоп)

obar в сообщении #540658 писал(а):

Метод дифференцирования энергии малоизвестный,

Да тут дело не в дифференцировании. А в том, что при известной траектории потенциального движения зависимость энергии от координаты однозначно связывается (при одних и тех же начальных условиях, конечно) с зависимостью координаты от времени. И любая возня с силами выглядит на этом фоне отвратительно.

[obar]

ewert в сообщении #540696 писал(а):

любая возня с силами выглядит на этом фоне отвратительно.

Полностью согласен. Именно поэтому я всегда недолюбливал статику. Хотя и в статике нередко удается применить похожие приемы: нахождение сил без сил.

[svv]

Запишем уравнение Лагранжа для плиты:
$\frac d{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}=\frac{\partial L}{\partial q}\;,\quad\quad L=\frac{mv^2}2-mgh$
Масса сразу сокращается, в этом смысле задача кинематическая. Обобщенной координатой $q$ считаем путь, пройденный ЦМ плиты вдоль траектории (считая от произвольного начала), тогда $\dot q=v$. Получаем:
$\frac d{dt}\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac {v^2}2\right)=\frac{\partial}{\partial q}(-gh)$
Левая часть равна ускорению ЦМ.
Правая часть равна $-g\frac{\partial h}{\partial q}=g\sin\gamma$, где $\gamma$ -- угол наклона траектории ЦМ плиты к горизонтали.

[obar]

Рассмотрим теперь другой вопрос. При каком угле $\alpha$ возможно движение плиты (и катков) без проскальзывания. Где именно начнется проскальзывание? Коэффициент трения везде одинаков. Что теперь можете сказать?

[anatoliy_kiev]

obar а что вы скажите?

[obar]

(Оффтоп)

Мне всегда нравилось наблюдать такой эффект: как появляется ответ к задаче, сразу находится масса умников, приходящих к этому же результату. Видимо подобные навыки закрепляются со студенческой скамьи (студент под любой ответ подгонит решение).

Я свой ответ приведу позже.

[ewert]

При $\alpha>2\arctg k$, одновременно.

[Oleg Zubelevich]

здесь я был не прав

[obar]

(Оффтоп)

К вам мой оффтоп никоим образом отношения не имел

Верно. А можно это результат получить без "отвратительного копания в силах"?

-- Вт фев 21, 2012 14:32:12 --

Oleg Zubelevich в сообщении #541266 писал(а):

Это неверно.

А если $\alpha=0$ скорость направлена перпендикулярно плите?

[ewert]

obar в сообщении #541267 писал(а):

А можно это результат получить без "отвратительного копания в силах"?

Я могу предложить для начала такой несколько жульнический (но достаточно честный) способ. Поскольку катки невесомы -- задача по существу статическая. И тогда она сводится к следующей: при каком угле раствора двух шарнирно скреплённых пластин можно зажать ими тот каток?... -- ну тут очевидно.

[Oleg Zubelevich]

ewert
см. выше

[anatoliy_kiev]

Oleg Zubelevich в сообщении #541266 писал(а):

Это неверно. Мгновенный центр скоростей катка -- это точка, скажем $A$, которой каток стоит на земле. Пусть $B$ -- точка катка, в которой на коток опирается плита. Тогда скорость точки $B$ перпендикулярна отрезку $AB$. Соответственно, скорость точки $B$ наклонена под углом $\pi/2-\alpha/2$ к горизонту. Скорость точек плиты не направлена вдоль плиты, если, конечно в системе нет проскальзываней.

это неверно. Пусть продолжение плиты пересекает горизонт в точке $C$, а перпендикуляр к $AB$ в точке $D$. Тогда $\angle BAC = \angle CBA = \beta $, $\angle BCA = \alpha$, $\angle BDA = \gamma$. Очевидно, $2\beta + \alpha = \pi$, $\gamma = \pi/2 - \beta = \alpha/2$.
P.S. поздно увидел что подразумевается под "см. выше"

[ewert]

anatoliy_kiev в сообщении #541273 писал(а):

это неверно.

там просто были перепутаны горизонт и вертикаль, а так всё верно

[obar]

ewert в сообщении #541268 писал(а):

Я могу предложить для начала такой несколько жульнический (но достаточно честный) способ.

Но ведь это не избавляет от "ковыряния в силах", а лишь проясняет симметрию проскальзывания.