Два катка и плита

[crackman]

Тяжелую плиту положили на два катка разного радиуса. Найти ускорение плиты, если она образует угол $\alpha$ с горизонтом. Массой катков можно пренебречь, проскальзывания нет.

Не знаю даже с какой стороны подойти к этой задаче. Если рассматривать её чисто из динамических позиций (задача размещена в разделе "законы Ньютона"), то возникает вопрос, а как писать уравнения движения, если мы ни черта не знаем о силах трения, которые действуют между цилиндрами и плитой (кроме того, что они меньше соответствующих сил трений проскальзывания). Если же подобраться со стороны кинематики, то ничего более толкового кроме как то, что цилиндры должны двигаться в каждый момент времени с одной скоростью, написать не удалось.

Help

[obar]

crackman в сообщении #539966 писал(а):

Не знаю даже с какой стороны подойти к этой задаче

Стандартная задача, стандартный подход: записать 2-й закон Ньютона для плиты и для катков. Если масса катков нулевая (точнее момент инерции), то ответ очевиден: $a=g\sin\alpha$. Попробуйте это обосновать.

[crackman]

obar в сообщении #540002 писал(а):

Стандартная задача, стандартный подход: записать 2-й закон Ньютона для плиты и для катков.

задача нестандартная. Вы ее неверно поняли. Катки тоже движутся.

obar в сообщении #540002 писал(а):

Если масса катков нулевая (точнее момент инерции), то ответ очевиден: $a=g\sin\alpha$.

Ответ неверен.

obar в сообщении #540002 писал(а):

Попробуйте это обосновать.

может вы попробуете сначала решить?

[obar]

crackman в сообщении #540048 писал(а):

Ответ неверен.

Интепесно. Рассуждения у меня были простые. Если в точке соприкосновения действует сила трения $F_i$, то она создает $i$-му катку вращательный момент $F_iR_i$ (силы реакции со стороны плиты и земли моментов не создают). Второй закон Ньютона для катка дает

$$ I_i\dot{\omega}_i=F_iR_i\quad\Rightarrow\quad I=0\,,\; F_i=0. $$

Т.е. сил трения нет. Отсюда сразу получаем ответ. Я что-то пропустил?

-- Сб фев 18, 2012 09:39:06 --

А, нашел. Я пропустил еще одну силу. Теперь получилось $a=g\sin\alpha/2$ (если в алгебре не ошибся).

[crackman]

obar в сообщении #540076 писал(а):

Я пропустил еще одну силу.

какую? теперь ответ верный

[phys]

Наверное ту что на втором катке :)

[Munin]

crackman в сообщении #539966 писал(а):

Если же подобраться со стороны кинематики, то ничего более толкового кроме как то, что цилиндры должны двигаться в каждый момент времени с одной скоростью, написать не удалось.

Вроде бы, это неверно. Передний обгоняет задний, если я не ошибаюсь.

[obar]

В прошлом решении я не учел силу трения между катком и основой. Если каток безмассовый, то обе силы трения (между плитой и катком и между катком и основой) должны быть равны (детали вычислений я опускаю, проделайте их сами). Их легко выразить через силу реакции $N_i$ катка на плиту: $F_i=N_i\tg(\alpha/2)$. Далее, из кинематических соотношений находим связь между продольным и поперечным ускорением плиты

$$ \frac{a_\perp}{a_\|}=\tg(\alpha/2)\,, $$

а из 2-го закона Ньютона находим сами эти ускорения

$$ a_\perp=g\sin^2(\alpha/2)\,,\;a_{\|}=g\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)\quad\Rightarrow\quad a=g\sin(\alpha/2). $$

[Munin]

Munin в сообщении #540148 писал(а):

Вроде бы, это неверно.

Или я запутался...

[obar]

Munin в сообщении #540148 писал(а):

Передний обгоняет задний, если я не ошибаюсь.

Ошибаетесь.

[crackman]

obar во, теперь то что надо. я тоже сначала забыл эту силу, а она играет решающую роль

[ewert]

Только непонятно, зачем тут какие-то силы. Задачка же чисто кинематическая. Если соединить центр катка и точки его касания с плитой и с горизонтальной плоскости, то получится равнобедренный треугольник с углом $\frac{\alpha}2$ при основании. Это ровно означает, что скорость точки касания (а значит, и плиты) в каждый момент времени наклонена под углом $\frac{\alpha}2$ к горизонту. Тогда по закону сохранения энергии движение плиты равносильно скольжению материальной точки по наклонной плоскости с углом $\frac{\alpha}2$, откуда сразу и $g\sin\frac{\alpha}2$.

[obar]

Прием интересный, но назвать его чисто кинематическим неверно. Лучше энергетическим. Он применим не только для безмассовых катков. Можно рассмотреть и общий случай. Полная энергия системы

$$ E=\frac{Mu^2}{2}+Mgh+\frac{v^2}{2}\sum_i\left(m_i+I_i/R_i^2\right), $$

где $u=2v\cos(\alpha/2)$ -- скорость плиты, $v$ -- ее продольная составляющая. Дифференцируя это выражение по времени и учитывая, что $\dot{h}=-v\sin\alpha$, находим

$$ a\equiv\dot{u}=\frac{4M\sin(\alpha/2)\cos^2(\alpha/2)}{4M\cos^2(\alpha/2)+\sum_i\left(m_i+I_i/R_i^2\right)}\,g. $$

Быстро и просто.

[anatoliy_kiev]

Это задача 2.1.51 из известного сборника Савченко и размещена она в разделе законы Ньютона. Так что никаких законов сохранения при решении не подразумевает (соответствующие параграфы идут дальше)

[obar]

Вот именно, не предполагалось... Метод дифференцирования энергии малоизвестный, но зачастую очень эффективный и удобный.