Выпуклость функции

[ewert]

kopern1k в сообщении #540556 писал(а):

Про $\alpha_0$ надо добавить, что $F(0)=F(1)=0$?

Да, и это принципиально. А вот ловить именно точку максимума, да ещё и самую левую, вовсе не обязательно: достаточно лишь подняться близко к супремуму (например, на три четверти высоты).

[Shadow]

Мне совершенно непонятно как свойства функции $f$ переносятся на функцию $F$. Ведь

Цитата:

$F(\alpha)=f(\alpha x +(1-\alpha)y)-\alpha f(x)- (1-\alpha)f(y)$

Как же так получается

Цитата:

Далее прямой проверкой показываем, что $\forall \alpha_1 , \alpha_2 \in [0,1]$ $F(\frac {\alpha_1+\alpha_2}{2}) \le \frac {F(\alpha_1)+F(\alpha_2)}{2}$ (1)

Я хотел написать в такой постановке чему равно $F(\frac {\alpha_1+\alpha_2}{2})$ и отказался. Да еще и неравенство проверять.
И даже если возможно с этими половинками разобратся, то какая гарантия, что $(\alpha_1+\alpha_2)x$ например принадлежит интервалу.

[ewert]

Shadow в сообщении #540625 писал(а):

Мне совершенно непонятно как свойства функции $f$ переносятся на функцию $F$

Это комбинация линейной замены переменной и прибавления просто линейной функции. И то, и другое сохраняет выпуклость -- как в слабом смысле (с двойкой), так и в сильном (с произвольной альфой).

[kopern1k]

А мне непонятно, как цитировать отдельные строчки сообщения, содержащие математические символы.

[ИСН]

Так же, как любые другие: выделил, нажал. Но это не во всех браузерах гладко работает.

[Shadow]

ewert я это знаю. Но в задаче требуется доказать определение выпуклой функции. Так что никакие свойства выпуклой функции нелзья использовать. Так думаю, может, неправ.

[ewert]

kopern1k в сообщении #540669 писал(а):

А мне непонятно, как цитировать отдельные строчки сообщения, содержащие математические символы.

Есть универсальный способ: просто нажать кнопку "цитата" и стереть всё лишнее. Но удобнее, конечно, использовать разумный браузер. Вот, скажем, лисичка -- она разумна.

-- Вс фев 19, 2012 22:32:51 --

Shadow в сообщении #540678 писал(а):

Так что никакие свойства выпуклой функции нелзья использовать.

Что значит "никакие"?... В задачке требуется доказать сильную выпуклость (для произвольного параметра), исходя из слабой (для двойки). (Привлекая, конечно, дополнительные требования, самое слабое из которых -- локальная ограниченность функции сверху.) Ну так слабая выпуклость сохраняется при указанных преобразованиях. А значит -- её можно и нужно использовать.

[Shadow]

ewert в сообщении #540687 писал(а):

Но удобнее, конечно, использовать разумный браузер

Internet Explorer - браузер, который пользуется для скачивания другого браузера.
По теме. Из википедии: Определение выпуклой функции:

Цитата:

Определение:Вещественнозначная функция, определённая на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства) выпукла, если для любых двух значений аргумента x, y и для любого числа $t \in [0,1]$ выполняется неравенство Йенсена: $f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y)$
Свойства:
Непрерывная функция f выпукла на $[a,b]$ тогда и только тогда, когда для всех точек $x,y \in [a,b]$ выполняется неравенство
$f(\frac{x+y}{2}) \le \frac{f(x)+f(y)}{2}$

Т.е меня удовлетворит доказательство, в котором слово "выпуклость" не присуствует. Иначе доказываю задачу в 1 изречение.

[ewert]

Shadow в сообщении #540716 писал(а):

Иначе доказываю задачу в 1 изречение.

Ну Вы хоть прочитайте доказательства -- тут их несколько разных было, и все более-менее правильные. А в 1 в любом случае не выйдет.