Помогите вычислить Интеграл

[GreyFist]

Здравствуйте. Подскажите, как посчитать такой интеграл:

$$ I_{k}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\cos(kx)-\cos(k\alpha)}{\cos(x)-\cos(\alpha)}dx, \quad k=1, 2, 3,... $$

Я уверен, что: $I_{k+1}-I_{k-1}=2\cos(k\alpha)$, но не знаю, как это доказать.

[a_nn]

Дополнить до экспоненты не пробовали? (добавить такой же интеграл с синусами умноженный на мнимую единицу).

[alcoholist]

Если мне не изменяет память, то можно сделать так:
разделите на два и измените пределы на $[0,2\pi]$, потом перейдите к $z=e^{ix}$ и считайте вычет в $z=0$

[ewert]

Только лучше перейти от разностей косинусов к произведениям синусов и только потом уже к экспонентам. Тогда знаменатели уйдут, а в числителе окажется произведение двух сумм геометрических прогрессий. После почленного перемножения все слагаемые, содержащие иксы, дадут при интегрировании ноль в силу периодичности. А оставшиеся образуют геометрическую прогрессию, вновь сворачивающуюся в синус. В общем, получится $I_k=\frac{\sin(k\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

[PAV]

Перенесено из физического раздела в математический

[GreyFist]

Спасибо большое. Вычислил, только я не до конца понял, почему уничтожится сумма слагаемых, содержащих $x$. Можете подробнее объяснить эту часть?

[ewert]

Не сумма, а каждое из них. Там будут слагаемые вида $$e^{i(k-1-2l)\frac{x+\alpha}2}\cdot e^{i(k-1-2j)\frac{x-\alpha}2}.$ И если иксы в показатели не сократятся, то получится выражение вида $\mathrm{const}\cdot e^{imx}$, которое после интегрирования по периоду даст ноль.

[GreyFist]

Спасибо. Я уже сам успел понять.