Продолжение псевдодиф оператора до компактного

[Nimza]

Как показать, что любой псевдодифференциальный оператор $A \in \mathcal{L}^m(\Omega)$, $m< 0$ может быть продолжен с сохранением непрерывности до компактного оператора из $\mathcal{L}(L^2_{comp}(\Omega), L^2_{loc}(\Omega))$? Здесь $\Omega$ это область в $\mathbb{R}^n$.

Понятно, почему до такого линейного непрерывного оператора можно продолжить, но вот как показать его компактность...

[Хорхе]

Что такое $\mathcal L^m(\Omega)$?

[Nimza]

Это псевдодифференциальные операторы с амплитудами порядка не выше $m$. Если $a$ - амплитуда порядка $m$, то псевдодифференциальный оператор это обобщенная функция

$$ \mbox{Op } a (y) = \int\limits_{\Omega} \int\limits_{\mathbb{R}^n} e^{i(x-y)\xi} a(x,y,\xi) d\xi dx $$

Неформально, амплитуды порядка $m$ это $C^{\infty}$ функции, имеющие порядок роста $m$ по $\xi$. Строгое определение вот http://dxdy.ru/topic55230.html#p539563.

[Nimza]

Тьфу, я опечатался (просто последнее время с ядрами возился), если $A = \mbox{Op a}$, то

$$ Au (x) = (2\pi)^{-n} \int\limits_{\mathbb{R}^n} \int\limits_{\Omega} e^{i(x-y)\xi} a(x,y,\xi) u(y) dy d\xi $$

Здесь $A \colon C^{\infty}_{comp}(\Omega) \to D'(\Omega)$.