Измеримы ли по Лебегу борелевские множества?

[xmaister]

Если множество в $\mathbb{R}^n$ борелевское, следует ли из этого что оно измеримо по Лебегу? Почему?

[a_nn]

Открытые измеримы => борелевские измеримы.

[PAV]

К чему эта тема размещена в "Свободном полете"? Переместил ее в учебный математический раздел. И заголовок изменил на информативный

[Nimza]

Вы слышали про такую штуку как мера Хаара? В топологических группах это мера, инвариантная относительно групповой операции и определенная на борелевской сигма-алгебре как на естесственной сигма-алгебре в топологическом пространстве. В группе $(\mathbb{R}^n,+)$ мерой Хаара будет сужение меры Лебега на борелевские множества. Эта мера не полна, а её пополнение совпадает с мерой Лебега на $\mathbb{R}^n$ (таким образом мы расширяем область определения меры с борелевских множеств до измеримых по Лебегу).

[Padawan]

xmaister
Соотнесите друг с другом следующие факты:
1) Любое открытое множество измеримо по Лебегу;
2) Семейство измеримых по Лебегу множеств является сигма-алгеброй;
3) Борелевская сигма-алгебра -- минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые множества.

[xmaister]

Padawan
Соотнес, теперь ясно. Спасибо.