Разность хода двух когерентных волн

[guryev]

Gees в сообщении #474551 писал(а):

Почему переписываем выражение (1) для ${t}={0}$ и для ${t}=-\dfrac{\pi}{{2}{\omega}}$?

$0$ - чтобы попроще, $-\frac{\pi}{2\omega}$ - чтобы синусы из косинусов получить. Можно и другие $t$, но с этими легче.

Gees в сообщении #474551 писал(а):

А также пункты (2) и (3) тоже?

А с ними что? Попробуйте проделать, должно получиться.

[Simonov]

Gees в сообщении #474533 писал(а):

Simonov

${y}_{1}={A}_{1}{\cos({\omega}{t}+{\varphi}_{1})}$
${y}_{2}={A}_{2}{\cos({\omega}{t}+{\varphi}_{2})}$

Их сумма:

${y}={y}_{1}+{y}_{2}$

Применяем формулу разложения для волн, получаем:

$$A\cos(\omega t+\varphi)=A_1\cos(\omega t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega t+\varphi_2)$$

Теперь применяем формулу:

$\cos(\omega t + \varphi)=\cos \omega t \cos\varphi-\sin \omega t \sin \varphi $

$${A}(\cos \omega t \cos\varphi-\sin \omega t \sin \varphi)={A}_{1}(\cos \omega t \cos\varphi-\sin \omega t \sin \varphi)+{A}_{2}(\cos \omega t \cos\varphi-\sin \omega t \sin \varphi)$$$

А как дальше?

(Оффтоп)

В бытность своей учёбы в университете был у меня случай когда два моих друга, обучающиеся на инженерно-строительном факультете, попросили помочь сдать зачёт по электротехнике. Я не возражал, учитывая что они за это обещались проставиться пивом. Так как предмет был для них совершенно не профильный зачёт принимали не очень строго, к тому же у двух групп сразу, поэтому мои товарищи по очереди отпросились выйти, якобы в туалет, а в действительности передать мне задачи, что бы я их по быстрому решил. Всё бы ни чего, но они кому-то из своих одногруппников проболтались... Конечно я помог. Всем. Это был тот ещё блиц, меньше минуты на билет. Сдали зачёт все (ну в смысле я сдал за всех). А потом они собрались и скинулись у кого сколько было, так что у меня несколько месяцев потом не было потребности в деньгах (не у всех конечно была возможность отблагодарить финансово, но ни кто не ушёл обиженным).
Это я, как бы, тонко намекаю, что на этом форуме принято помогать, но не решать за кого-либо.

А куда делись $\varphi_1$ и $\varphi_2$?
По поводу что делать дальше я писал:

Simonov в сообщении #474269 писал(а):

Результат сложения сгруппируйте относительно $\cos \omega t$ и $\sin \omega t$. Обратите внимание на что будет похоже полученное выражение.

Запишите выражение правильно и выполните группировку...


Поймите, что суть идеи в том, что волну вида

$A \cos(\omega t + \varphi)$

можно представить как

$X \cos \omega t - Y \sin \omega t $

где

$X = A \cos\varphi $
$Y = A \sin \varphi $
$\tg \varphi =\frac{Y}{X} $

И далее складывать и вычитать сколько угодно волн (одной частоты, разумеется) между собой.

[Munin]

Gees в сообщении #474533 писал(а):

А как дальше?

Скажите, а вы сами думать собираетесь, или всё только под диктовку?

[Gees]

Simonov

$${A}(\cos \omega t \cos\varphi-\sin \omega t \sin \varphi)={A}_{1}(\cos \omega t \cos{\varphi}_{1}-\sin \omega t \sin {\varphi}_{1})+{A}_{2}(\cos \omega t \cos{\varphi}_{2}-\sin \omega t \sin {\varphi}_{2})$$

Группировка:

${A}(\cos \omega t \cos\varphi-\sin \omega t \sin \varphi)={A}_{1}\cos \omega t \cos{\varphi}_{1}-{A}_{1}\sin \omega t \sin {\varphi}_{1}+{A}_{2}\cos \omega t \cos{\varphi}_{2}-{A}_{2}\sin \omega t \sin {\varphi}_{2}=({A}_{1}\cos \omega t \cos{\varphi}_{1}+{A}_{2}\cos \omega t \cos{\varphi}_{2})-({A}_{1}\sin \omega t \sin {\varphi}_{1}+{A}_{2}\sin \omega t \sin {\varphi}_{2})$

-- 10.08.2011, 00:23 --

Munin

Я прошу прощение, но я здесь пишу то, что понимаю только, а то, что не понимаю, не пишу.

guryev

Мне непонятен ход Ваших мыслей.

[guryev]

Gees в сообщении #474579 писал(а):

Мне непонятен ход Ваших мыслей.

При чём тут ход мыслей, попробуйте сделать, как я написал, и всё.

[Simonov]

Gees в сообщении #474579 писал(а):

Simonov

$${A}(\cos \omega t \cos\varphi-\sin \omega t \sin \varphi)={A}_{1}(\cos \omega t \cos{\varphi}_{1}-\sin \omega t \sin {\varphi}_{1})+{A}_{2}(\cos \omega t \cos{\varphi}_{2}-\sin \omega t \sin {\varphi}_{2})$$

Группировка:

${A}(\cos \omega t \cos\varphi-\sin \omega t \sin \varphi)={A}_{1}\cos \omega t \cos{\varphi}_{1}-{A}_{1}\sin \omega t \sin {\varphi}_{1}+{A}_{2}\cos \omega t \cos{\varphi}_{2}-{A}_{2}\sin \omega t \sin {\varphi}_{2}=({A}_{1}\cos \omega t \cos{\varphi}_{1}+{A}_{2}\cos \omega t \cos{\varphi}_{2})-({A}_{1}\sin \omega t \sin {\varphi}_{1}+{A}_{2}\sin \omega t \sin {\varphi}_{2})$

Ну что Вы в самом деле! Вынести за скобки $\cos \omega t$ и $\sin \omega t$ религия не позволяет? Глотать тоже за Вас?

[Munin]

Gees в сообщении #474579 писал(а):

Я прошу прощение, но я здесь пишу то, что понимаю только, а то, что не понимаю, не пишу.

Это хорошо. Но получается, вы ничего не понимаете: ни тригонометрических уравнений, ни работы с многочленами. Могу посоветовать потренироваться в школьной программе алгебры. Пока вы не начнёте понимать больше математики, с мёртвой точки вы не сдвинетесь.

[Gees]

Simonov

$({A}_{1}\cos \omega t \cos{\varphi}_{1}+{A}_{2}\cos \omega t \cos{\varphi}_{2})-({A}_{1}\sin \omega t \sin {\varphi}_{1}+{A}_{2}\sin \omega t \sin {\varphi}_{2})=\cos \omega t({A}_{1} \cos{\varphi}_{1}+{A}_{2}\cos{\varphi}_{2})-\sin \omega t({A}_{1}\sin {\varphi}_{1}+{A}_{2}\sin {\varphi}_{2})$

Munin

Я формулы стараюсь учить наизусть.Но их нужно ещё и понимать.А это сложно.

guryev

Я не понял, что нужно сделать.

[Simonov]

Gees в сообщении #474686 писал(а):

Я формулы стараюсь учить наизусть.Но их нужно ещё и понимать.А это сложно.

Как Вы в ВУЗ смогли поступить с таким подходом к образованию? Формула это описание чего-либо на языке математики и в зависимости от того что Вам нужно формулировка явления может меняться, но простой зубрёжкой без понимания сути Вы уподобляетесь китайцам перерисовывающим иностранные тексты на этикетках товаров.

Gees в сообщении #474686 писал(а):

Simonov

$({A}_{1}\cos \omega t \cos{\varphi}_{1}+{A}_{2}\cos \omega t \cos{\varphi}_{2})-({A}_{1}\sin \omega t \sin {\varphi}_{1}+{A}_{2}\sin \omega t \sin {\varphi}_{2})=\cos \omega t({A}_{1} \cos{\varphi}_{1}+{A}_{2}\cos{\varphi}_{2})-\sin \omega t({A}_{1}\sin {\varphi}_{1}+{A}_{2}\sin {\varphi}_{2})$

Ваше выражение:
$({A}_{1} \cos{\varphi}_{1}+{A}_{2}\cos{\varphi}_{2})\cos \omega t -({A}_{1}\sin {\varphi}_{1}+{A}_{2}\sin {\varphi}_{2})\sin \omega t$
Как найти $\varphi$ я писал здесь
Вдогонку $A^2=X^2+Y^2$ сами Вы, судя по всему, до этого не додумаетесь.
Итого сколькими способами Вам здесь уже решили задачу?

(Оффтоп)

Как можно описать рассвет?
Можно односложно, можно заумно, можно если бог не обделил талантом стихами, но всё это не имеет смысла если Вы не знаете языка.

[Munin]

Gees в сообщении #474686 писал(а):

Я формулы стараюсь учить наизусть.Но их нужно ещё и понимать.А это сложно.

Согласен, сложно, но только это и нужно с формулами делать. А учить наизусть - незачем, то, что понято, выучивается само.

Чтобы формулы понимать, надо выполнить упражнения. Например, берёте задачник для 7 класса, тему "вынесение множителя за скобки", и решаете. До упора, пока не будет получаться. Если всё прорешали - начинайте по новой, или возьмите другой задачник, их много. Потом задачник для 10 класса, тему "тригонометрические уравнения". Если зашли в тупик - перейдите к задачам по предыдущей теме.

[Gees]

Simonov

${\varphi}={arctg{\varphi}}$

Не понимаю почему амплитуда в квадрате берётся, а из квадрата уже извлекаем квадратный корень (радикал).

${A}=\sqrt{{X}^{2}+{Y}^{2}}$

[vvb]

Gees в сообщении #474763 писал(а):

Не понимаю почему амплитуда в квадрате берётся, а из квадрата уже извлекаем квадратный корень (радикал).

Потому что

Simonov в сообщении #474558 писал(а):

$X = A \cos\varphi $
$Y = A \sin \varphi $

$X^2 + Y^2 = A^2 \cos^2 \varphi + A^2 \sin^2 \varphi = A^2 (\cos ^2 \varphi + \sin ^2 \varphi) = A^2$

Gees в сообщении #474763 писал(а):

${\varphi}={arctg{\varphi}}$

$\frac Y X = \frac {A \sin \varphi} { A \cos \varphi}$
$\frac Y X = \tg \varphi$
$\varphi = \arctg \frac Y X$

[Gees]

vvb
Почему, если вторая волна отстаёт от первой на целое число длин волн, то, складываясь, волны усиливают друг друга?
В чём причина этому?

[Munin]

Волны подчиняются принципу суперпозиции (по крайней мере в линейном приближении). Так что если в одну точку пришли две волны с разностью на целое число волн, то они придают этой точке колебания, находящиеся по времени в фазе, и в итоге точка колеблется с суммарной амплитудой. Разумеется, это относится только к волнам одинаковой частоты.