Лимит

[mr.tumkan]

ИСН в сообщении #540018 писал(а):

Да-да, я именно так и понял.

-- Сб, 2012-02-18, 00:51 --

Это-то и плохо.

А почему это плохо? Разве так нельзя делать - $\lim(\sin a_n)\ne \sin(\lim a_n)$?

-- 17.02.2012, 23:55 --

ИСН в сообщении #540018 писал(а):

Вы числовой человек или буквенный? Если числовой, ну, проверьте численно, что ли..

А как тут проверить? Я думал, что константа на бесконечности роли играть не будет...Да мне и буквы и цифры - одна малина..

А хоть это правильно?

$\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{\pi n^2}{n+1}=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{\pi n}{1+1/n}=\infty$

[ИСН]

Так. Вы не числовой человек. Давайте буквами. Можно ли делать "так". Можно. Ну-с, и чему же равен $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{\pi n^2}{n+{3\over2}}$?

-- Сб, 2012-02-18, 00:59 --

Вот-вот, и я о том же. Ну а как Вы собираетесь считать синус бесконечности?

[mr.tumkan]

ИСН в сообщении #540021 писал(а):

Вот-вот, и я о том же. Ну а как Вы собираетесь считать синус бесконечности?

Ну ведь последовательность $\{\sin(\pi n\)\}$ это ведь $0,0,0....,0$

$\big\{0\big\}_{n=1}^{\infty}$. Я думал, что у этой последовательности предел равен нулю...

Мне вот очевидно, что предел последовательности $\sin\Big(\dfrac{\pi n}{2}\Big)$ не существует, так как можно выбрать подпоследовательности, которые имеют разные пределы, что означает отсутствие предела.

[ИСН]

Совершенно верно. А вот, например, последовательность $\{\sin(n)\}$, без пи?

[mr.tumkan]

ИСН в сообщении #540023 писал(а):

Совершенно верно. А вот, например, последовательность $\{\sin(n)\}$, без пи?

Не имеет предела.

-- 18.02.2012, 00:07 --

Но я пока что не очень понял свою грубую ошибку.

[ИСН]

То-то же. А ведь казалось бы, обе стремятся к бесконечности. Так что там с моей последовательностью (дробь с 3/2)?

[mr.tumkan]

ИСН в сообщении #540025 писал(а):

То-то же. А ведь казалось бы, обе стремятся к бесконечности. Так что там с моей последовательностью (дробь с 3/2)?

$\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{\pi n^2}{n+{3\over2}}=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{\pi n}{1+{3\over{2n}}}=\lim\limits_{n \to \infty}\sin(\pi n)=0$

Где-то все равно ошибка, потому что я пока не сообразил -- в чем дело и что у меня было неправильно...

-- 18.02.2012, 00:13 --

Быть может эта бесконечно малая величина $3\over{2n}$ в знаменателе -- все портит и при каждом $n$ "сдвигает" $\pi n$ от нуля?

[ИСН]

Да, знаете... может!

-- Сб, 2012-02-18, 01:15 --

Именно так она и делает. Не от нуля только, а - - -

[mr.tumkan]

ИСН в сообщении #540028 писал(а):

Да, знаете... может!

-- Сб, 2012-02-18, 01:15 --

Именно так она и делает. Не от нуля только, а - - -

Понятно. Спасибо. Вообщем -- таким способом этот предел не посчитать, насколько я понял (или же он не существует).

Значит можно так?

$$\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+2}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi(n^2-4)+4\pi }{n+2}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\pi(n-2)+\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)=$$

$$=\lim\limits_{n \to \infty}\Bigl[\sin\Big(\pi(n-2)\Big)\cos\Big(\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)+\sin\Big(\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)\cos\Big(\pi(n-2)\Big)\Bigl]=\lim\limits_{n \to \infty}\sin(\pi n)=0$$

[ИСН]

Можно, разумеется, Вам это ещё на той странице сказали. А вот с моим так попробуйте-ка.

[mr.tumkan]

ИСН в сообщении #540032 писал(а):

Можно, разумеется, Вам это ещё на той странице сказали. А вот с моим так попробуйте-ка.

$\lim\limits_{n \to \infty}\sin\dfrac{\pi n^2}{n+{3\over2}}=\lim\limits_{n \to \infty}\sin\dfrac{\pi n^2-\frac{9}{4}+\frac{9}{4}}{n+{3\over2}}=\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big[\pi(n-\frac{3}{2})+\dfrac{\frac{9}{4}}{n+{3\over2}}\Big]=..$

$$=\lim\limits_{n \to \infty}\Bigl[\sin\Big(\pi(n-\frac{3}{2})\Big)\cos\Big(\dfrac{9\pi/4}{n+2}\Big)+\sin\Big(\dfrac{9\pi/4 }{n+2}\Big)\cos\Big(\pi(n-\frac{3}{2})\Big)\Bigl]=$$

$$=\lim\limits_{n \to \infty}\sin(\pi n-\dfrac{3\pi}{2})=\lim\cos(\pi n)=\lim (-1)^n=\text{не существует}$$

[ИСН]

... ну?

[mr.tumkan]

ИСН в сообщении #540037 писал(а):

... ну?

Уже дописал. Увидел, понял в чем разница, спасибо!

А как тут быть? $\lim\limits_{n \to \infty}n^2\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+2}\Big)$

[ИСН]

Ага, отлично. Собственно, это всё, что я хотел сказать.

[mr.tumkan]

ИСН в сообщении #540039 писал(а):

Ага, отлично. Собственно, это всё, что я хотел сказать.

Ух, как до такого можно было догадаться изначально (про то, тчо бесконечная малая величина так повлияет на предел)- не представляю!