Соединяем два конденсатора (кажущийся парадокс)

[ivanhabalin]

e2e4 Не тратьте время на мою схему - она не эввивалентна и не пройдёт. Я ошибся. Всё таки наверное с сопротивлением. Но вот обратимости не получиться. Я имею ввиду вернуться к исходному состоянию.

[Joker_vD]

e2e4
Ну, работа по перемещению заряда равна произведению заряда на напряжение. Однако при этом напряжение будет меняться, так что это надо учитывать. Далее я как принимаю — у минусов был общий потенциал, и после соединения минуса с минусом ничего не произошло. Теперь соединяем плюсы — разность потенциалов между ними была $5$, а должна уменьшиться в процессе до нуля.

Изначально на первом конденсаторе лежит $5C$, на втором — $10C$, в конце — на ообих по $7{,}5\,C$, т.е. всего переносится $2{,}5\,C$. Как считать напряжение после переноса части заряда? На первом конденсаторе будет $5C+Q$, на втором $10C-Q$, напряжения на них равны $5+\frac1CQ$ и $10-\frac1CQ$ соответственно, разность потенциалов между ними составляет $10-\frac QC-\left(5+\frac QC\right)=5-\frac2CQ$. Заметьте что при $Q=0$ имеем $5$, а при $Q=\frac52C$ имеем ноль. Все, интегрируем.

[rustot]

e2e4 в сообщении #539581 писал(а):

Не распишите?

$I(t) = \frac{U}{R} e^\frac{- 2 t}{R C}$
$\int_0^{t_0} I(t)^2 R dt = \frac{U^2 C}{4} (1-e^\frac{-4 t_0}{R C})$

вывести I(t) можно двумя путями
просто заметив что 2 последовательных конденсатора представляют собой один с половинной емкостью и половинным зарядом
или приравняв ток через резистор токам через емкости, рассматривая их по отдельности, результат будет тот же что в первом варианте

[Munin]

e2e4 в сообщении #539581 писал(а):

Не проходил.

Хм. Судя по тому, как вы отзываетесь о спектрах импульсов, что-то другое вы всё-таки проходили.

$$\begin{xy} /r1cm/:, (0,0);(0,0.875)**@{-}; (-0.5,0.875);(0.5,0.875)**@{-};(-0.5,1.125);(0.5,1.125)**@{-};(-0.5,1)*++!R{C_1,Q_1}; (0,1.125);(0,2)**@{-}*{\bullet}*++!DR{A}; (0.5,2)**@{-}; (0.5,1.75);(0.5,2.25)**@{-};(1.5,2.25)**@{-};(1.5,1.75)**@{-};(0.5,1.75)**@{-};(1,2.25)*++!D{R}; (1.5,2);(2,2)**@{-}*{\bullet}*++!DL{B}; (2,1.125)**@{-}; (1.5,0.875);(2.5,0.875)**@{-};(1.5,1.125);(2.5,1.125)**@{-};(2.5,1)*++!L{C_2,Q_2}; (2,0.875);(2,0)**@{-};(0,0)**@{-};(1,0)*{\bullet}*++!U{0}; \end{xy}$$

\noindent $I_1=\dfrac{dQ_1}{dt}=C_1\dfrac{dU_1}{dt}$ \par \noindent $I_2=\dfrac{dQ_2}{dt}=C_2\dfrac{dU_2}{dt}$ \par \noindent $I_{12}=R(U_1-U_2)$ \par \noindent $I_1=-I_{12}=-I_2$

$U_1(0)=U_{10},\quad U_2(0)=U_{20}$

Получается замечательная линейная система дифуров:

$$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{dU_1}{dt}=-C_1^{-1}R(U_1-U_2) \\ \\ \dfrac{dU_2}{dt}=C_2^{-1}R(U_1-U_2) \end{array}\right.$$

приводимая заменой $\Delta U=U_1-U_2,\quad U_{\mathrm{mean}}=(C_1U_1+C_2U_2)/(C_1+C_2)$ к одному дифуру:

$$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{d\Delta U}{dt}=-(C_1^{-1}-C_2^{-1})R\,\Delta U \\ \\ \dfrac{dU_{\mathrm{mean}}}{dt}=0 \end{array}\right.$$

Его решение:
$\Delta U(t)=\Delta U_0\exp(-(C_1^{-1}-C_2^{-1})R\,t).$

Суммарное выделенное тепло
$\displaystyle W=\int\limits_{0}^{\infty}I_{12}(U_1-U_2)R\,dt$
легко посчитать, но мне лень, потому что я дочитал до сообщения rustot, и увидел, что я лишнюю работу делаю...

[ivanhabalin]

e2e4 Оказывается не мы здесь первые, с конденсаторами и что интересно, ровно год назад кое кто тоже упражнялся.
Но Вы сразу про "парадокс", а там понемногу.

Более грамотные чем я посмотрите и на словах если можно, что это за "парадокс". Почему это вводит менее грамотных в заблуждение?

[profrotter]

Munin в сообщении #539629 писал(а):

Его решение:
$\Delta U(t)=\Delta U_0\exp(-(C_1^{-1}-C_2^{-1})R\,t).$

Предполагаю, что там должно быть $C_1^{-1}+C_2^{-1}$, иначе минус может сыграть злую шутку при некотором соотношении между ёмкостями.

Кстати, напряжение на кондесаторах (эти самые 7,5 вольт заявленные на первой странице) пока никто не нашёл в последней схеме.

rustot в сообщении #539605 писал(а):

просто заметив что 2 последовательных конденсатора представляют собой один с половинной емкостью и половинным зарядом

Разве этот один эквивалентный конденсатор с половинной ёмкостью не должен полностью разрядиться на сопротивление?

[rustot]

profrotter в сообщении #539690 писал(а):

Разве этот один эквивалентный конденсатор с половинной ёмкостью не должен полностью разрядиться на сопротивление?

он и разрядится полностью с точки зрения внешнего наблюдателя, который видит только двухполюсник. потому-что в этом композитном конденсаторе для внешнего наблюдателя находится половинный заряд. а вторая половина перетекает только внутри этого черного ящика и наружу не выходит

[Munin]

profrotter в сообщении #539690 писал(а):

Предполагаю, что там должно быть $C_1^{-1}+C_2^{-1}$,

Да, конечно, глупая опечатка, меньше надо в уме уравнения вычитать.

profrotter в сообщении #539690 писал(а):

Кстати, напряжение на кондесаторах (эти самые 7,5 вольт заявленные на первой странице) пока никто не нашёл в последней схеме.

Как это? Это и будет $U_{\mathrm{mean}}=(C_1U_1+C_2U_2)/(C_1+C_2).$

anticiklon в сообщении #539692 писал(а):

Разве здесь верно? $I_{12}=R(U_1-U_2)$
$U_1-U_2=I_{12}R$?

Ещё одна опечатка, разумеется, $I_{12}=R^{-1}(U_1-U_2).$ Это кошмар, сколько я их налепил. Слишком рисованием увлёкся.

[profrotter]

rustot в сообщении #539699 писал(а):

он и разрядится полностью с точки зрения внешнего наблюдателя

А энергия поля полностью разряженного конденсатора - она ведь равна нулю? То есть вся энергия, соответствующая случаю, когда эквивалентный конденсатор был заряжен, выделяется на сопротивлении и $W=\frac {C_{\text{э}}U^2} 2$, где $C_{\text{э}}=\frac {C_1C_2} {C_1+C_2}$. (При $C_1=C_2=C$, $C_{\text{э}}=\frac C 2$, $W=\frac {CU^2} 4$).

Вообще, тут надо очень аккуратно подумать с эквивалентностью. Дело в том, что в исходном состоянии принудительно заданы разности потенциалов на двух конденсаторах и рассматриваемая конструкция не совсем представима эквивалентным конденсатором. Если бы конструкция находилась в чёрном ящике и мы имели бы доступ только к двум крайним выводам конденсаторов и не имели доступа к средней точке, то распределение потенциалов на конденсаторах было бы иным и подход был бы верным и при разрядке вся энергия системы выделялась бы на сопротивлении, а конденсаторы оказывались бы полностью разряжены.

Munin в сообщении #539710 писал(а):

Как это? Это и будет $U_{\mathrm{mean}}=(C_1U_1+C_2U_2)/(C_1+C_2).$

То, что Ваше это $U_{\mathrm{mean}}$ будет равно 7,5 Вольт, если подставить начальные значения $U_1(0)$ и $U_2(0)$, - очевидно. Мне непонятно, почему это самое $U_{\mathrm{mean}}$ будет равно напряжению на конденсаторах $U_1(t)|_{t\to\infty}$ и $U_2(t)|_{t\to\infty}$? Если не трудно, не могли бы Вы подробнее. Очень интересуют в частности и сами зависимости $U_{1,2}(t)$.

[Munin]

profrotter в сообщении #539721 писал(а):

Munin в сообщении #539710 писал(а):

Как это? Это и будет $U_{\mathrm{mean}}=(C_1U_1+C_2U_2)/(C_1+C_2).$

То, что Ваше это $U_{\mathrm{mean}}$ будет равно 7,5 Вольт, если подставить начальные значения $U_1(0)$ и $U_2(0)$, - очевидно. Мне непонятно, почему это самое $U_{\mathrm{mean}}$ будет равно напряжению на конденсаторах $U_1(t)|_{t\to\infty}$ и $U_2(t)|_{t\to\infty}$? Если не трудно, не могли бы Вы подробнее. Очень интересуют в частности и сами зависимости $U_{1,2}(t)$.

Ну как же. Записываете обратное преобразование: $U_{1,2}=U_{\mathrm{mean}}\pm C_{2,1}\Delta U/(C_1+C_2).$ Предел $\Delta U(t)\xrightarrow{t\to\infty}0,$ так что остаётся только первое слагаемое, которое константа.

[profrotter]

Munin в сообщении #539752 писал(а):

Ну как же

Понял. Это "среднее" напряжение имеет нулевую производную и является константой. Ну а далее в новом статическом режиме напряжения на конденсаторах должны быть равны друг другу, откуда $U_{1,2}(\infty)=U_{mean}=\frac {C_1U_1(0)+C_2U_2(0)} {C_1+C_2}$.

Ну вот вроде есть энергия, выделяемая на сопротивлении, есть напряжения на конденсаторах до и после коммутации. Как там с балансом энергии, кстати?

[ivanhabalin]

Это из прошлогоднего: BorodaN в сообщении #412653 писал(а):
Вы считаете, что потери на активном сопротивлении проводов, ни разу не будучи упомянуты в расчете, тем не менее неким мистическим образом влияют на результат?

Ответ ewert:
Их нельзя не учитывать. По умолчанию в задаче предполагается, что речь о некоем установившемся напряжении. А если нет потерь -- то ничего и не установится, так всё и будет вечно колебаться.

Рассмотрите предельный случай -- соединение (через неважно какое сопротивление) заряженного конденсатора фиксированной ёмкости с незаряженным конденсатором бесконечной ёмкости. Первый фактически просто разрядится, и вся его энергия вылетит в трубу. Точнее, уйдёт на нагрев проводов. Независимо от сопротивления этих проводов.

И совершенно не важна физическая природа этих потерь -- на активные сопротивления она приходится или на излучение. Задачка вполне осмысленна и безо всяких излучений.

[rustot]

profrotter в сообщении #539721 писал(а):

Дело в том, что в исходном состоянии принудительно заданы разности потенциалов на двух конденсаторах и рассматриваемая конструкция не совсем представима эквивалентным конденсатором

Достаточно полностью корректно просчитать цепь с двумя конденсаторами, чтобы получить формулы как для эквивалентного конденсатора половинной емкости и заряда. То что при таком преобразовании в нем 'затревает' половина энергии, ну так и что, ее не видно, никак не измерить, ни на что не влияет, до тех пор пока конденсаторы не расцепим

Так и на практике делают полярные конденсаторы большой емкости - соединяя встречно полярные электролиты и смещая их среднюю точку, заряжая 'навсегда' постоянным зарядом, который ни на что после не влияет.

[Munin]

profrotter в сообщении #539795 писал(а):

Это "среднее" напряжение имеет нулевую производную и является константой.

Собственно, и назвал я его "средним напряжением" по физическому смыслу. А мог бы назвать какими-нибудь произвольными буквами, например, $\xi$ и $\sigma$ :-)

profrotter в сообщении #539795 писал(а):

Ну вот вроде есть энергия, выделяемая на сопротивлении, есть напряжения на конденсаторах до и после коммутации.

Не понял. Как это энергия есть напряжения? У них размерности разные.

profrotter в сообщении #539795 писал(а):

Как там с балансом энергии, кстати?

Он выполняется дифференциально: если вы посчитаете энергию на конденсаторах в произвольный момент $t,$ и возьмёте от него производную, то из выписанной системы уравнений можно найти, что это будет мощность джоулева тепла. Кстати, это верно для любой схемы из конденсаторов, индуктивностей и резисторов.

-- 17.02.2012 17:51:20 --

rustot в сообщении #539832 писал(а):

То что при таком преобразовании в нем 'затревает' половина энергии, ну так и что, ее не видно, никак не измерить, ни на что не влияет, до тех пор пока конденсаторы не расцепим

Её легко видно по искрам, дыму и горячим проводам :-) А если менее драматично, то к конденсаторам можно подключить вольтметр (точнее, здесь нужно гальванометр), и не расцепляя их.

[rustot]

Munin в сообщении #539837 писал(а):

Её легко видно по искрам, дыму и горячим проводам А если менее драматично, то к конденсаторам можно подключить вольтметр (точнее, здесь нужно гальванометр), и не расцепляя их.

для этого нужно влезть внутрь черного ящика, к средней точке между конденсаторами. если я 2 конденсатора соединю последовательно, потом заряжу через среднюю точку встречно и замотаю все это изолентой - не разматывая изоленты вы никакими приборами не определите что это 2 конденсатора и что они имеют постоянный заряд сверх того, что мы подаем извне