помогите решить задачу с целыми числами

[smile;)]

школу закончил уже года 5 назад, уже многое позабыто,но попросили помочь и так

решить в целых числах
$3^n + 8 = x^2$

сначала решил попробовать перебрать варианты дошел до нескольких тысяч, ничего не получилось, далее перенести 8 на другую сторону и разбить на 2 скобки тоже не получилось, далее при замены

$x = 2k$
$3^n = 4k^2-8$ c одной стороны нечетное число с другой четное

$x = 2k+1$
$3^n = 4k^2+4k-7$ оба нечетных но дальше что?

извините за оформление, всё шурумбурум написал

[Коровьев]

Рассмотрите эквивалентную задачу
$3^n + 9 = x^2 + 1$

[smile;)]

$3^n + 9 = x^2+1$
$3^n + 3^2 = x^2+1$
$3^2 =\frac {x^2+1}{3^{n-2} + 1}$

ну может так а дальше что?

[Doil-byle]

Просто посмотрите на остатки, которые может давать точный квадрат при делении на три и всё станет очевидно.
$0\cdot0\equiv 0(\mod3), 1\cdot1\equiv1 (\mod3), 2\cdot2 \equiv 1(\mod3) $
На всякий случай напишу, что $a\equiv b(\mod c)$, если числа $ a $ и $b$ дают одинаковый остаток при делении на $c$.

[smile;)]

что-то я не понял, так любой квадрат приделении на 3 дает остаток 1, то при $x^2 = 3^m+1$ то уравнение можно заменить на $3^n + 8 = 3m+1$ ult m,n-целые числа??7

[ИСН]

да, то есть не совсем, а вернее, совсем не надо ничего заменять. Левая часть даёт какой остаток при делении на 3? А правая?

[smile;)]

правая часть дает остаток равный 2, левая 1

[ИСН]

Всегда такие цифры, или есть какие-то особые случаи?

[smile;)]

вроде всегда, в правой может быть ноль при x кратным 3

[ИСН]

Так, допустим. Значит что?

[ewert]

smile;) в сообщении #539780 писал(а):

вроде всегда, в правой может быть ноль при x кратным 3

Когда Вы говорили про то, что остаток слева равен двойке, Вы неявно предполагали, что степень тройки всегда делится на три. А что, и впрямь всегда?...

[smile;)]

aaaaaaaa? при n=0 и x=3 система имеет решение, но тогда как доказать что больше решений нет??

[ewert]

Чётко сформулируйте: при каких эн предыдущее рассуждение насчёт остатка корректно (и почему), а при каких (и почему) нет?...

[smile;)]

1) при n=отрицательным, получается в правой части дробные числа(не подходит)
2)при n=0 x=3 является решением
3) при n=положительные $3^n + 6+2 $ при делении на 3 дает остаток 2, $x^2$ дает либо остаток равный 1, либо 0(когда х кратен 3)

[ИСН]

всё так. вот и доказали.