Ультраметричность p-адической метрики

[Unconnected]

Как её доказать? Т.е. $p(x,z)<\max(p(x,y),p(y,z)) $. Я так понимаю, два неравенства будут использоваться, но как именно..

[Хорхе]

Кто здесь?
Вообще-то Вы неправильное неравенство записали. Ну да ладно. Дроби сводить к общему знаменателю умеете?

[Unconnected]

умею.Вы правда думали, что у меня в этом загвоздка?

[Хорхе]

В принципе, в этой задаче кроме умения сводить к общему знаменателю и определения $p$-адической нормы ничего больше и не требуется.

[Unconnected]

Видимо, требуется, если не получается)

[svv]

Специально прочитал в Википедии, как выглядит $p$-адическая метрика и что такое ультраметричность.

Пусть $x, y, z$ -- рациональные числа. Тогда $a=x-y$, $b=y-z$ тоже рациональные числа, как и $x-z=a+b$. Так как $d_p(x, y)=|x-y|_p$, то надо доказать, что
$|a+b|_p\leqslant \max(|a|_p, |b|_p)$.
Вопрос: что такое $|a|_p$?

[Unconnected]

Ну как я упрощённо понимаю, это $p^{-\alpha}, \alpha=k-l$, где k,l - это на какую максимальную степень p делятся числитель и знаменатель соответственно..

[Хорхе]

Вот пусть у Вас знаменателя нет (числа целые). Что можно сказать?

[Unconnected]

А.. ну всё, понял) С дробями то же самое. Кстати, важно, что неравенство нестрогое - оно в таком виде наверное чаще получается. Спасибо всем)

[Хорхе]

Unconnected в сообщении #539883 писал(а):

Кстати, важно, что неравенство нестрогое - оно в таком виде наверное чаще получается.

Более того, если оно строгое, то расстояния от $x$ до $y$ и от $y$ до $z$ одинаковы. То есть любой $p$-адический треугольник -- равнобедренный.

[alcoholist]

Хорхе в сообщении #539889 писал(а):

То есть любой $p$-адический треугольник -- равнобедренный.

и любая точка внутри шара в ультраметрическом пространстве является его - шара - центром:)

[Хорхе]

Ну и там бывает большой шар внутри маленького и прочие вещи, которыми пугают детей.