Предел. Какой оптимальный метод?

[lampard]

1)

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^2+1}$$

Какой оптимальный метод вычисления этого предела? Или этот единственный?

Рассмотрим функцию $f(x)=\sqrt[x]{x^2+1}$

$$\lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[x]{x^2+1}=\lim\limits_{x\to\infty}\exp{\Big(\dfrac{\ln(x^2+1)}{x}\Big)}=\lim\limits_{x\to\infty}\exp{\Big(\dfrac{(\ln(x^2+1))'}{(x)'}\Big)}=\lim\limits_{x\to\infty}\exp{\Big(\dfrac{2x}{x^2+1}\Big)}=e^0=1$$

Раз предел функции равен $1$ на бесконечности, то последовательности и подавно. Есть ли что-то здравое в моих рассуждениях? Ведь обязательно заменять $n$ на $x$ или можно так "внаглую" брать производные?

[Хорхе]

Все с решением в порядке. Можно решить (идейно) несколько проще, но не нужно. Так что не парьтесь.

[Praded]

А по второму замечательному не хотите?

[bot]

Дык $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1$ и $1<n^2+1<n^3$

[lampard]

Praded в сообщении #539055 писал(а):

А по второму замечательному не хотите?

Спасибо!
А как к нему свести? Мне не очевидно.. Ведь неопределенность $\Big[\infty^0\Big]$. Я думал, что о втором замечательным имеет смысл думать, когда $\Big[1^\infty\Big]$

-- 15.02.2012, 20:43 --

Хорхе в сообщении #539054 писал(а):

Все с решением в порядке. Можно решить (идейно) несколько проще, но не нужно. Так что не парьтесь.

Ок, спасибо. А как все-так проще?

-- 15.02.2012, 20:45 --

bot в сообщении #539061 писал(а):

Дык $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1$ и $1<n^2+1<n^3$

Спасибо. А это считается известным ,что $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1$

[Хорхе]

Как проще, написал bot.

[Keter]

А разве не очевидно, что $\sqrt[n]{n}=1$?

Наверное можно так:

$\lim\limits_{n\to\infty} (n^2+1) = \lim\limits_{n\to\infty} n$

Выходит $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n^2+1} =1$

[ИСН]

[Joker_vD]

$\lim\limits_{n\to\infty} e^n = \lim\limits_{n\to\infty} n$

Выходит $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{e^n}=1$

[lampard]

А что все-таки про второй замечательный? Можно ли его как-то применить в том примере?

[lampard]

А корректно ли вот такое вычисление предела?

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^2+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\exp{\Big(\dfrac{\ln(n^2+1)}{n}\Big)}=\lim\limits_{n\to\infty}\exp{\Big(\dfrac{(\ln(n^2+1))'}{(n)'}\Big)}=\lim\limits_{n\to\infty}\exp{\Big(\dfrac{2n}{n^2+1}\Big)}=e^0=1$$

-- 16.02.2012, 04:08 --

bot в сообщении #539061 писал(а):

Дык $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1$ и $1<n^2+1<n^3$

$$1=\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}\leqslant \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n^2+1}\leqslant \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n^3}=\Big(\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}\Big)^3=1^3=1$$

(Парочка вопросов тут)

1)Всяческие заклинания насчет предельных переходов нужны?=)
2) Можно ли такие чудеса проделывать -- как пронесение степени сквозь предел?

По теореме о двух мусорах полицейских - преступника сажают в тюрьму. Это имелось ввиду или не так понял?

-- 16.02.2012, 04:50 --

А в чем тут ошибка?

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^2+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\Big(n^2\big(1+\frac{1}{n^2}\big)}\Big)^{\frac{1}{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}n^{\frac2n}\cdot \lim\limits_{n\to\infty}\big(1+\frac{1}{n^2}\big)}^{\frac{1}{n}}=\Big(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}\Big)^2\cdot \lim\limits_{n\to\infty}\Big(\big(1+\frac{1}{n^2}\big)}^{\frac{1}{n^2}}\Big)^n=$$

$$=1^2\cdot\lim\limits_{n\to\infty}e^n=\infty$$

[bot]

Keter в сообщении #539128 писал(а):

А разве не очевидно, что $\sqrt[n]{n}=1$?

Неочевидно, но просто. Обозначим $x_n=\sqrt[n]{n}-1$. Тогда $x_n>0$ и $n=(1+x_n)^n=1+nx_n+\frac{n(n-1)}{2}x_n^2+\ldots >\frac{n(n-1)}{2}x_n^2\Rightarrow 0<x_n^2<\frac{2}{n-1}$

Keter в сообщении #539128 писал(а):

Наверное можно так:

$\lim\limits_{n\to\infty} (n^2+1) = \lim\limits_{n\to\infty} n$

Выходит $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n^2+1} =1$

Если бы так было можно, то было бы можно всё: $\lim\limits_{n\to\infty} n=\lim\limits_{n\to\infty} n^n$ поэтому $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n^n} =1$
Upd. Пропустил, что Joker_vD уже про это сказал.

lampard в сообщении #539208 писал(а):

А в чем тут ошибка?

Вот здесь $\lim\limits_{n\to\infty} \left( \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{\frac{1}{n^2}}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}e^n$

[lampard]

bot в сообщении #539218 писал(а):

Неочевидно, но просто. Обозначим $x_n=\sqrt[n]{n}-1$. Тогда $x_n>0$ и $n=(1+x_n)^n=1+nx_n+\frac{n(n-1)}{2}x_n^2+\ldots >\frac{n(n-1)}{2}x_n^2\Rightarrow 0<x_n^2<\frac{2}{n-1}$

Вот здесь $\lim\limits_{n\to\infty} \left( \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{\frac{1}{n^2}}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}e^n$

Спасибо большое.

P.S. Часть вопросов осталась без ответа

(А именно...)

a) А корректно ли вот такое вычисление предела?

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^2+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\exp{\Big(\dfrac{\ln(n^2+1)}{n}\Big)}=\lim\limits_{n\to\infty}\exp{\Big(\dfrac{(\ln(n^2+1))'}{(n)'}\Big)}=\lim\limits_{n\to\infty}\exp{\Big(\dfrac{2n}{n^2+1}\Big)}=e^0=1$$

b)

$$1=\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}\leqslant \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n^2+1}\leqslant \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n^3}=\Big(\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}\Big)^3=1^3=1$$

1)Всяческие заклинания насчет предельных переходов нужны?=)
2) Можно ли такие чудеса проделывать -- как пронесение степени сквозь предел?

По теореме о двух мусорах полицейских - преступника сажают в тюрьму. Это имелось ввиду или не так понял?

[bot]

a) Корректно. Если кто будет придираться, сказать что $n\in \mathbb R$ или заменить его иксом, а тогда в частности и предел последовательности будет тот же. Upd. А ну у Вас сначала так и было.
b) Ну дык это я и предлагал.

1) Это какие? Сойдись - прошу тебя или отстань, разойдись?
2) Это разве чудеса? Предел перестановочен с непрерывной функцией и со степенью тоже, разумеется, если она не переменная.

Сажает суд, менты только ведут. Ментов не стало, а как переодетых назовут - понты что ли или панты? Пока не устаканилось, для узнаваемости лучше говорить о полиционерах.

[lampard]

bot в сообщении #539409 писал(а):

a) Корректно. Если кто будет придираться, сказать что $n\in \mathbb R$ или заменить его иксом, а тогда в частности и предел последовательности будет тот же. Upd. А ну у Вас сначала так и было.
b) Ну дык это я и предлагал.

1) Это какие? Сойдись - прошу тебя или отстань, разойдись?
2) Это разве чудеса? Предел перестановочен с непрерывной функцией и со степенью тоже, разумеется, если она не переменная.

Сажает суд, менты только ведут. Ментов не стало, а как переодетых назовут - понты что ли или панты? Пока не устаканилось, для узнаваемости лучше говорить о полиционерах.

Спасибо, понятно.

bot в сообщении #539409 писал(а):

1) Это какие? Сойдись - прошу тебя или отстань, разойдись?

Я имел ввиду про это: Если $x_n\leqslant y_n$, то $\lim\limits_{n\to\infty}x_n\leqslant \lim\limits_{n\to\infty}y_n$