Доказать свойство площади треугольника

[druggist]

Пусть дан произвольный треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$, длины сторон $a$ и $b$ постоянны и $a>b$, а квадрат длины $c$ может изменяться в пределах от $(a-b)^2$ до $(a+b)^2$. При этом площадь треугольника как функция квадрата стороны $S(c^2)$ будет иметь максимум при изменении аргумента в указанных пределах. Вопрос, можно ли как-то из общих соображений доказать, "увидеть" и т.д., что функция $S$ симметрична относительно точки максимума(оси ординат, проведенной через точку максимума) или, что то же самое, функция $S(((c^2)_m-c^2)) $, где $(c^2)_m$ - абсцисса точки максимума, - четная?

[nnosipov]

Очевидно, поскольку площадь равна полупроизведению $a$ на $b$ и на синус угла между ними.

[druggist]

А можно слегка обнажить эту очевидность?

[nnosipov]

Полностью разоблачаю: $\sin{\gamma}=\sin{(180^\circ-\gamma)}$.

[gris]

Я бы для большей отчётливости добавил теорему косинусов.

По ней $c^2_m-c^2=2ab\cos C$, так как $c^2_m=c^2(90^{\circ})=a^2+b^2$

Если снести $C$ на 90 градусов, то с помощью обратной функции и получим.

А если уж совсем на пальцах: Если угол $C$ отступит на постоянную величину от 90 градусов (что соответствует максимуму $c^2$) вправо и влево, площадь будет одинакова, а $c^2$ получит одинаковые по модулю, но разные по знаку приращения.

[druggist]

Все равно не догоняю, как функция $\gamma$ площадь симметричная функция поскольку пропорциональна $sin{\gamma}$ а как функция $c^2$?

[gris]

Синус симметричен относительно прямой $C=90^{\circ}$.

Я бы сделал замену переменной $X=C-90^{\circ}$ и $r=c^2_m-c^2$.

Тогда формулы примут вид $S=0,5ab\cos X;\, r=-2ab\sin X$

[druggist]

gris, спасибо, я наконец, понял, конечно, используя торему синусов и косинусов можно получить явный вид $S(c^2)$. Мне казалось, что доказательство могло бы следовать из каких-то "высших" соображений, не использующих явный вид S, теорему Пифагора, синусов, косинусов и пр.

[gris]

прояснение более для себя.
Важно, чтобы вторая функция, $c^2(\gamma)$ тоже была симметрична относительно только не прямой, а точки максимума. Композиция нечётной (сначала) и чётной функции даст чётную.
Например, функция $S(c)$ не будет симметричной.
Было бы интересно отыскать ещё какую-то величину симметричную относительно точки своего значения при прямом угле.

[druggist]

То, что максимум достигается при прямом угле как мне кажется тоже не вполне очевидная вещь: есть некоторая величина, непрерывно зависящая от аргумента, изменяющегося на отрезке, причем, эта величина неотрицательна и на концах отрезка обращается в ноль. Следовательно, где-то на отрезке эта величина максимальна. Единственное, что приходит на ум, взять явный вид для площади(формулу Герона), продифференцировать по це и получить, что це квадрат равно а квдрат плюс бе квадрат, но это как-то неэстетично.

[Евгений Машеров]

Дорисуйте прямотреугольник до паралеллограмма, где c - диагональ. Из чего сразу становится видно, что максимум при прямом угле. Да и то, что при равных c равные высоты паралеллограмма h, тоже легко получается.

[gris]

Ну так формула площади же приведена. Максимум синуса известен.
$c$, вроде бы, монотонно возрастает при возрастании угла?

Наверное, сделав аккуратный чертёж, можно методом каких-нибудь разрезаний установить симметричность $c^2$ относительно его значения при прямом угле. Может быть и параллелограмм поможет. Только получится та же самая теорема косинусов. Вот она и является той самой "высшей причиной".

Свойство же очень интересное. Стоит поглубже разобраться в нём.
У площади и квадрата третьей стороны как у функций известного угла имеется симметрия с одинаковой абсциссой прямой/точки. Почему?

[druggist]

Евгений Машеров в сообщении #539277 писал(а):

Дорисуйте прямоугольник до паралеллограмма, где c - диагональ. Из чего сразу становится видно, что максимум при прямом угле.

Я не могу дорисовать"прямоугольник до параллелограмма", я могу "растянуть" диагональ с превратив пр-к в пар-м, но это ничего не доказывает, также как и в случае с треугольником надо знать явное выражение для площади пар-грамма

[Евгений Машеров]

0. Прошу прощения за описку. Исправил.
1. Дан треугольник ABC. Построим паралеллограмм ABCD, где A, B, C - соответствующие вершины треугольника, причём стороны a, b - стороны паралеллограмма (a - основание, b - боковая сторона, для определённости), а c - его, паралеллограмма, диагональ.
Очевидно, она делит паралеллограмм на два треугольника равной площади, и задача о максимизации площади треугольника сводится к таковой для паралеллограмма.
2. Площадь паралеллограмма равна произведению высоты на основание. Высота не превышает боковой стороны и равна,только если боковая сторона перпендикулярна к основанию. Следовательно, площадь паралеллограмма максимальна, если он есть прямоугольник, а треугольника - если он прямоугольный с прямым углом между b и a.
3. Далее приглашаем Пифагора.

[ewert]

По тождеству параллелограмма $c^2+d^2=2a^2+2b^2=\mathrm{const}$. Замена $c^2$ на симметричное ему относительно центра $c^2=d^2=\frac12\mathrm{const}$ значение $\mathrm{const}-c^2$ не меняет площади треугольника, т.к. сводится к замене одной диагонали параллелограмма на другую, т.е. просто к выбору остроугольной половинки параллелограмма вместо тупоугольной или наоборот. Поэтому площадь и симметрично зависит от изменения $c^2$. Ну а уж что в центре (т.е. для прямоугольного треугольника) достигается именно максимум площади -- можно считать очевидным с какой угодно точки зрения.