Соединяем два конденсатора (кажущийся парадокс)

[e2e4]

Взяли два конденсатора одинаковой емкости, один заряжен до напряжения 5 В, второй - до напряжения 10 В, и соединили их параллельно (т.е. плюс - к плюсу, минус - к минусу). Вопрос: какое напряжение установится на каждом из конденсаторов?

[Munin]

А в чём парадокс?

[e2e4]

Сначала необходимо ответить на поставленный вопрос.

[Munin]

7,5 В. В чём парадокс?

[wallflower]

Суммарный заряд 15C, где C -- емкость каждого. У склеенного конденсатора емкость в два раза больше, поэтому напряжение будет 7.5 В.

[Joker_vD]

wallflower в сообщении #538982 писал(а):

У склеенного комментатора емкость в два раза меньше

У комментатора, может, и меньше, а вот суммарная емкость соединенных параллельно конденсаторов равна сумме их емкостей.

И да, в чем парадокс-то?

[wallflower]

Joker_vD
да-да, спуталс резисторами :( за комментатора тоже извиняюсь; энтот андроид уже задолбал своими исправлениями.

[e2e4]

Ок. Теперь посчитаем энергии системы до и после. Первоначально суммарная энергия двух конденсаторов была $E = \frac{C\cdot5^2}{2} + \frac{C\cdot10^2}{2} = 62,5\cdot C$. После соединения конденсаторов, при условии, что, как Вы говорите, напряжение на каждом из них составило 7,5 В, энергия составит: $\frac{C\cdot{7,5}^2}{2} + \frac{C\cdot{7,5}^2}{2} = 56,25\cdot C$. Ну или по-другому, через удвоение емкости: $E = \frac{2\cdot C\cdot{7,5}^2}{2} = 56,25\cdot C$. Вопрос: куда делось $(62,5 - 56,25)C$ Джоулей?

[wallflower]

тепло? там же ток течет при перераспределении зарядов...

[ivanhabalin]

А не на перемещение заряда?

(Оффтоп)

Про сопротивление ни чего не говорили, в какой интересно форме энергии.

[e2e4]

Цитата:

тепло? там же ток течет при перераспределении зарядов...

Да, есть практическое мнение, что просто так соединить конденсаторы нельзя - будет искра, выделение энергии в проводах, а главное - на внутреннем сопротивлении конденсатора. Но заметьте, что величина потерь получается совершенно точная, от проводов, внутренних сопротивлений не зависящая. Да и соединять можно по-разному, например через резистор в калориметре, а потом дозарядить конденсаторы точно на столько, сколько энергии рассеялось в виде тепла. Так какое все-таки напряжение установится на конденсаторах?

[wallflower]

e2e4 в сообщении #538994 писал(а):

Но заметьте, что величина потерь получается совершенно точная

Если твердый тяжёлый мячик массы $m$ уронить с высоты $h$ в песок, то потери энергии составят точно $mgh$. Разве нет?

По-моему, энергия найдёт, куда деться. На перемещение зарядов, в тепло, на искру, в электромагнитное излучение... Вот если бы наоборот -- оказалось, что энергия склеенного конденсатора оказалась в точности равна сумме энергий отдельных конденсаторов, то это бы уже был действительно парадокс. Так и до вечного двигателя недалеко.

[Joker_vD]

e2e4
А вот ivanhabalin правильно сказал — работа по перемещению заряда. Ведь надо же со второго конденсатора на первый перегнать заряд в $2{,}5\,C$ кулон, а изначальная разница потенциалов между ними — 5 вольт:

$$A=\int U\,dQ=\int\limits_0^{\frac52C} \left(5-\frac2C Q\right)\,dQ=\text{ ВНЕЗАПНО } \frac{25}4C=6{,}25\,C.$$

Еще вопросы?

[ivanhabalin]

e2e4 Подскажите где потеря энергии будет в Вашей схеме если представить конденсатор плоский- три пластины, одна общая на земле, две над ней, рядом. Заряды пластин как у вас, ёмкость тоже рана. Потенциал как у Вас.

Далее к верхним двум пластинам плавно сверху подносить четвёртую пластину по площади равную двум. И приближать до полного контакта. Потенциалы между верхней пластиной и двумя под ней будут по мере прибижения снижаться до 0. Резкого скачка тока не будет. Сопротивления нет.

-- 15.02.2012, 18:01 --

Извините вроде дошло, именно на перемещение зарядов, только что то много на то чтобы переместить, а энергия не исчезает. Вот и парадокс.. .

[Munin]

e2e4 в сообщении #538989 писал(а):

Вопрос: куда делось $(62,5 - 56,25)C$ Джоулей?

В проводах сгорело во время КЗ. И в чём парадокс-то?

e2e4 в сообщении #538994 писал(а):

Но заметьте, что величина потерь получается совершенно точная, от проводов, внутренних сопротивлений не зависящая.

В этом, что ли? Ну поздравляю. Из закона сохранения энергии можно много таких "парадоксов" выудить. Например, столкновение двух тел $m_1$ и $m_2,$ после которого они не разлетаются. Всё дело в том, что закон сохранения энергии недостаточно детален, чтобы проследить, куда что ушло, и именно за счёт этого более универсально применим.