Логарифм

[math_lover]

Здравствуйте

Не могу решить, помогите пожалуйста

$\[{\left( {{{\log }_2}5} \right)^2} + {\log _2}8000000 = {\left( {{{\log }_2}40} \right)^2}\] $

Как это "получить"? (правую часть равенства из левой)

Спасибо

[AlexValk]

А Вы попробуйте 8000000 и 40 разложить на множители. И воспользуйтесь формулой $a^2-b^2=\dots$

[math_lover]

Попробовал подойти "задним ходом":

$\[\begin{array}{l} {\left( {{{\log }_2}5} \right)^2} + {\log _2}8000000 = {\left( {{{\log }_2}5} \right)^2} + {\log _2}{200^3} = {\left( {{{\log }_2}5} \right)^2} + 3{\log _2}200 \\ = {\left( {{{\log }_2}5} \right)^2} + \left( {{{\log }_2}8} \right)\left( {{{\log }_2}200} \right) = {\left( {{{\log }_2}5} \right)^2} + \left( {{{\log }_2}40 - {{\log }_2}5} \right)\left( {{{\log }_2}40 + {{\log }_2}5} \right) \\ = {\left( {{{\log }_2}5} \right)^2} + {\left( {{{\log }_2}40} \right)^2} - {\left( {{{\log }_2}5} \right)^2} = {\left( {{{\log }_2}40} \right)^2} \\ \end{array}\] $

То есть, не знал бы ответ, не смог бы "вычислить", может кто-нибудь более логичное решение подсказать? Буду рад

[Nemiroff]

$(\log_25)^2+\log_28000000=(\log_25)^2+\log_210^6+\log_28=(\log_25)^2+6(\log_25+\log_22)+3=(\log_25)^2+2\cdot 3\log_25+9=(\log_25+3)^2=(\log_240)^2$

[AlexValk]

Если все же рассматривать Вашу задачу как задачу на доказательство тождества (чем она и является - ведь она не сформулирована как "упростить выражение"!), то наверное, наиболее простой путь такой: $\log _2^2 40-\log_2^2 5= \left(\log _2 40 -\log_2 5\right)\left(\log _2 40 +\log_2 5\right)$ $=\log _2 8\log _2 200=3\log _2 200 $ $= \log _2 200^3=\log _2 8000000.$

[math_lover]

Спасибо всем
Кажется проще решение здесь так просто не найти, и в этом случае (также от Nemiroff) они и есть простые.

Нет, мне именно упростить надо было, а не доказать, я приведу несколько "шагов" из того уравнения:

$\[\begin{array}{l} \sqrt[{x + 1}]{{125}} = 2,5 \cdot {2^{x - 1}} \Rightarrow {5^{\frac{{2 - x}}{{x + 1}}}} = {2^{x - 2}} \Rightarrow {x^2} + x{\log _2}\frac{5}{2} - {\log _2}100 = 0 \\ {x_{1,2}} = - \frac{{{{\log }_2}\frac{5}{2}}}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{{{{\log }_2}\frac{5}{2}}}{2}} \right)}^2} + {{\log }_2}100} \\ \end{array}\] $

Ну и так далее... То есть, мне под корнем без CAS так просто было не узнать Хотя может конечно оказаться, что само уравнение можно было бы более простым способом решить...

[Nemiroff]

$\sqrt[{x + 1}]{{125}} = 2,5 \cdot {2^{x - 1}}\Rightarrow 5^{\frac{3}{x+1}}=5\cdot 2^{x-2}\Rightarrow 25=5^{x}(2^{x+1})^{x-2}\Rightarrow (5\cdot 2^{x+1})^{x-2}=1\Rightarrow \{x=2\} \vee \{5\cdot 2^{x+1}=1\}\Rightarrow \{x=2\} \vee \{x=-\log_25-1\}$