2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Логарифм
Сообщение15.02.2012, 00:40 
Здравствуйте

Не могу решить, помогите пожалуйста

$\[{\left( {{{\log }_2}5} \right)^2} + {\log _2}8000000 = {\left( {{{\log }_2}40} \right)^2}\]
$

Как это "получить"? (правую часть равенства из левой)

Спасибо

 
 
 
 Re: Логарифм
Сообщение15.02.2012, 00:50 
Аватара пользователя
А Вы попробуйте 8000000 и 40 разложить на множители. И воспользуйтесь формулой $a^2-b^2=\dots$

 
 
 
 Re: Логарифм
Сообщение15.02.2012, 02:30 
Попробовал подойти "задним ходом":

$\[\begin{array}{l}
 {\left( {{{\log }_2}5} \right)^2} + {\log _2}8000000 = {\left( {{{\log }_2}5} \right)^2} + {\log _2}{200^3} = {\left( {{{\log }_2}5} \right)^2} + 3{\log _2}200 \\ 
  = {\left( {{{\log }_2}5} \right)^2} + \left( {{{\log }_2}8} \right)\left( {{{\log }_2}200} \right) = {\left( {{{\log }_2}5} \right)^2} + \left( {{{\log }_2}40 - {{\log }_2}5} \right)\left( {{{\log }_2}40 + {{\log }_2}5} \right) \\ 
  = {\left( {{{\log }_2}5} \right)^2} + {\left( {{{\log }_2}40} \right)^2} - {\left( {{{\log }_2}5} \right)^2} = {\left( {{{\log }_2}40} \right)^2} \\ 
 \end{array}\]
$

То есть, не знал бы ответ, не смог бы "вычислить", может кто-нибудь более логичное решение подсказать? Буду рад :wink:

 
 
 
 Re: Логарифм
Сообщение15.02.2012, 02:53 
$(\log_25)^2+\log_28000000=(\log_25)^2+\log_210^6+\log_28=(\log_25)^2+6(\log_25+\log_22)+3=(\log_25)^2+2\cdot 3\log_25+9=(\log_25+3)^2=(\log_240)^2$

 
 
 
 Re: Логарифм
Сообщение15.02.2012, 03:01 
Аватара пользователя
Если все же рассматривать Вашу задачу как задачу на доказательство тождества (чем она и является - ведь она не сформулирована как "упростить выражение"!), то наверное, наиболее простой путь такой: $\log _2^2 40-\log_2^2 5= \left(\log _2 40  -\log_2 5\right)\left(\log _2 40  +\log_2 5\right)$ $=\log _2 8\log _2 200=3\log _2 200 $ $= \log _2 200^3=\log _2 8000000.$

 
 
 
 Re: Логарифм
Сообщение15.02.2012, 03:34 
Спасибо всем :wink:
Кажется проще решение здесь так просто не найти, и в этом случае (также от Nemiroff) они и есть простые.

Нет, мне именно упростить надо было, а не доказать, я приведу несколько "шагов" из того уравнения:

$\[\begin{array}{l}
 \sqrt[{x + 1}]{{125}} = 2,5 \cdot {2^{x - 1}} \Rightarrow {5^{\frac{{2 - x}}{{x + 1}}}} = {2^{x - 2}} \Rightarrow {x^2} + x{\log _2}\frac{5}{2} - {\log _2}100 = 0 \\ 
 {x_{1,2}} =  - \frac{{{{\log }_2}\frac{5}{2}}}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{{{{\log }_2}\frac{5}{2}}}{2}} \right)}^2} + {{\log }_2}100}  \\ 
 \end{array}\]
$

Ну и так далее... То есть, мне под корнем без CAS так просто было не узнать :wink: Хотя может конечно оказаться, что само уравнение можно было бы более простым способом решить...

 
 
 
 Re: Логарифм
Сообщение15.02.2012, 04:15 
$\sqrt[{x + 1}]{{125}} = 2,5 \cdot {2^{x - 1}}\Rightarrow 5^{\frac{3}{x+1}}=5\cdot 2^{x-2}\Rightarrow 25=5^{x}(2^{x+1})^{x-2}\Rightarrow (5\cdot 2^{x+1})^{x-2}=1\Rightarrow \{x=2\} \vee \{5\cdot 2^{x+1}=1\}\Rightarrow \{x=2\} \vee \{x=-\log_25-1\}$

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group