Метризуемость в *-слабой топологии

[Padawan]

В учебнике Канторовича, Акилова по функциональному анализу приведена такая теорема (глава V, параграф 7):
Теорема. Если $X$ -- сепарабельное нормированное пространство, то единичный шар сопряженного пространства $B_{X^*}$ метризуем в $*$-слабой топологии.
Сопряженное пространство поглащается своим единичным шаром в том смысле, что $X^*=\bigcup\limits_{n=1}^\infty nB_{X^*}$. Следует ли отсюда, что при условиях теоремы $*$-слабая топология метризуема на всем $X^*$ ?

[hippie]

Конечно НЕТ!

Например, единичный шар в сепарабельном гильбертовом пространстве Н метризуем в слабой топологии. Но всё пространство Н со слабой топологией неметризуемо.

[MaximVD]

В доказательстве теоремы про метризуемость единичного шара очень существенно используется ограниченность по норме всех элементов этого шара.
Вообще, про метризуемость слабой и $*$-слабой топологий есть такой факт. Нормированное пространство $X$ метризуемо в слабой топологии топологии тогда и только тогда, когда оно конечномерно. Сопряжённое пространство $X^*$ метризуемо в $*$-слабой топологии тогда и только тогда, когда пространство $X$ имеет не более чем счётную линейную размерность. (Поэтому, если $X$ бесконечномерное банахово пространство, то $X^*$ не метризуемо в $*$-слабой топологии).

[Padawan]

MaximVD в сообщении #538822 писал(а):

Нормированное пространство метризуемо в слабой топологии топологии тогда и только тогда, когда оно конечномерно. Сопряжённое пространство метризуемо в -слабой топологии тогда и только тогда, когда пространство имеет не более чем счётную линейную размерность. (Поэтому, если бесконечномерное банахово пространство, то не метризуемо в -слабой топологии).

А где почитать про эти теоремы?

[MaximVD]

Padawan в сообщении #538835 писал(а):

А где почитать про эти теоремы?

Я их видел только в качестве упражнений. Например, в первом томе "Линейных операторов" Данфорда и Шварца, глава 5, упражнения после параграфа 6 "Слабые топологии. Слабая бикомпактность." Или, Рудин, "Функциональный анализ", в упражнениях к главе 3.

Идея доказательства не очень сложная. Могу коротко написать.

[Padawan]

MaximVD
Спасибо, сначала попробую сам

[Padawan]

Все просто оказалось

(Оффтоп)

Упражнение в Д._Ш.
Если $X$ линейное пространство, а $\Gamma$ -- тотальное подпространство в $X'$ (алгебраически сопряженном), то для того, чтобы $\Gamma$-топология пространства $X$ порождалась некоторой метрикой, необходимо и достаточно, чтобы $\Gamma$ имело счетный базис Гамеля.
Решение. Локально выпуклое пространство $(X, \sigma(X,\Gamma))$ (хаусдорфово, т.к. $\Gamma$ тотально) метризуемо, тогда и только тогда, когда существует счетная определяющая последовательность полунорм, т.е существует последовательность $\{f_n\}\subset \Gamma$ такая, что для любой функции $f\in\Gamma$ найдется число $C>0$ и номер $N$ такие, что $|f(x)|\leqslant C(|f_1(x)+\ldots+|f_N(x)|)$ для всех $x\in X$. Последнее условие, как известно, равносильно тому, что $f$ является линейной комбинацией функций $f_1,\ldots, f_N$. Следовательно $\{f_n\}$ -- базис Гамеля для $\Gamma$.

Если теперь $X$ -- бесконечномерное нормированное пространство, то $\Gamma=X^*$ будет удовлетворять условию упражнения, но будучи бесконечномерным и банаховым не будет иметь базисы Гамеля. Значит, слабая топология $\sigma(X,X^*)$ не метризуема.

Для $X^*$ тотальным будет множество $\Gamma=X\subset X^{\ast\ast}$, значит $*$-слабая топология $\sigma(X^*,X)$ метризуема тогда и только тогда, когда $X$ имеет счетный базис Гамеля.