В доказательстве теоремы про метризуемость единичного шара очень существенно используется ограниченность по норме всех элементов этого шара.
Вообще, про метризуемость слабой и

-слабой топологий есть такой факт. Нормированное пространство

метризуемо в слабой топологии топологии тогда и только тогда, когда оно конечномерно. Сопряжённое пространство

метризуемо в

-слабой топологии тогда и только тогда, когда пространство

имеет не более чем счётную линейную размерность. (Поэтому, если

бесконечномерное банахово пространство, то

не метризуемо в

-слабой топологии).