Простые числа вида 5^n+3^n+1

[Ktina]

$n$ - некоторое натуральное число.
Доказать, что если $5^n+3^n+1$ - простое, то $n$ делится на 12.
Верно ли обратное?

Доказать делимость на 12 было очень легко.
Если $n$ нечётно, то всё выражение делится на 3.
Если $n$ чётно, но не кратно 4, то всё выражение делится на 5.
Рассматривание остатков, даваемых $5^n+3^n+1$ при делении на 7 завершает доказательство.

А вот насчёт "верно ли обратное"... Это что ж, девятизначное число на простоту вручную проверять?

[ИСН]

Тыкать следующие простые модули. Успех принесёт 23. Наверное, это находимо руками, хоть и муторно.

[Ktina]

ИСН в сообщении #538427 писал(а):

Тыкать следующие простые модули. Успех принесёт 23. Наверное, это находимо руками, хоть и муторно.

Во-первых, действительно муторно, а во-вторых, не вижу элемента олимпиадности. Первый пункт - уровень кружка, а второй - числобродилка.

[ИСН]

Значит, судьба такая.

[Ktina]

ИСН в сообщении #538433 писал(а):

Значит, судьба такая.

Да, расписала остатки при делении на 23.
Оказалось, что при $n=96$ оно таки делится.

[ИСН]

Полагаю, Вы заметили, что это не первое такое n.

[Ktina]

ИСН в сообщении #538437 писал(а):

Полагаю, Вы заметили, что это не первое такое n.

Так оно ж должно ещё и на 12 делиться.

[ИСН]

Ах да, сорри, забыл. Конечно.

[hippie]

Ktina в сообщении #538429 писал(а):

ИСН в сообщении #538427 писал(а):

Тыкать следующие простые модули. Успех принесёт 23. Наверное, это находимо руками, хоть и муторно.

Во-первых, действительно муторно, а во-вторых, не вижу элемента олимпиадности. Первый пункт - уровень кружка, а второй - числобродилка.

Олимпиадности не видно потому, что неправильно выбран модуль. На самом деле второй пункт ещё проще первого.

Если $\bold{5^{12}+3^{12}+1}$ простое, то $\bold{5^{12(5^{12}+3^{12}+1)}+3^{12(5^{12}+3^{12}+1)}+1}$ — составное.

Q.e.d.