
- некоторое натуральное число.
Доказать, что если

- простое, то

делится на 12.
Верно ли обратное?
Доказать делимость на 12 было очень легко.
Если

нечётно, то всё выражение делится на 3.
Если

чётно, но не кратно 4, то всё выражение делится на 5.
Рассматривание остатков, даваемых

при делении на 7 завершает доказательство.
А вот насчёт "верно ли обратное"... Это что ж, девятизначное число на простоту вручную проверять?