1+2+4+8+... = -1

[J-A-P-H]

И всё-таки, почему это не верно? Чему противоречит (кроме здравого смысла )?

[PAV]

Это противоречит только "общепринятому" математическому смыслу значка $+\ldots$, который участвует в равенстве. Вы можете использовать какое-либо нестандартное определение этого символа, в котором данное равенство будет верно. Вот и все.

[J-A-P-H]

Каким образом оно тут противоречит? Сумму он обозначает здесь...

[wallflower]

$\sum_{k=0}^\infty 2^k:=\lim\limits_{n\to \infty}\sum_{k=0}^n 2^k=\lim\limits_{n\to \infty}(2^{n+1}-1)=\infty$

Но $\sum_{k=0}^n 2^k=-1\pmod {2^n}$

[J-A-P-H]

$a = 1+2+4+8+... = 1+2(1+2+4+8+...) = 1+2a = -1$
Что не так?

[wallflower]

Бесконечность -- не число и для неё не определены операции сложения и умножения.

[J-A-P-H]

А я что-то писал про бескоечность? Производил с ней операции?

[ИСН]

Выражение с многоточием на конце - не число, и для него не определены...

[svv]

Если не имели в виду бесконечность, тогда Ваши выводы не должны пострадать и в случае, когда многоточие означает конечное количество слагаемых.
Пожалуйста, докажите нечто аналогичное для суммы $1+2+4+8$. В самом деле, к чему нам бесконечность?

[wallflower]

Когда вы оперируете с $a$ как с числом, вы неявно предполагаете, что оно конечно. А с чего вдруг такие предположения?

[J-A-P-H]

Okay. Я не знаю, что вам ответить.
Почему тогда
$1+a+a^2+a^3+a^4+...=1/(1-a)$ (где многоточие означает бесконечное количество слагаемых)
верно для всех $-1<a<1$? Ведь тогда чушь должна получаться?

[AV_77]

Соответствующий ряд сходится.

[wallflower]

J-A-P-H в сообщении #538346 писал(а):

Ведь тогда чушь должна получаться?

Нет. Если формально раскрыть суммочку как предел последовательности (ср. 4-й пост), то эта последовательность сойдётся. Этому благоприятствует то, что $a^n\to 0$ при $n\to\infty$ когда $|a|<1$.

[Padawan]

J-A-P-H
Вы доказали, что если ряд $1+2+4+8+\ldots$ суммируем некоторым линейным методом суммирования, то его сумма по этому методу равна $-1$. Осталось предъявить метод суммирования.

[ИСН]

Потому что при соблюдении некоторых условий (а именно, условий сходимости рядов) всё-таки можно - это отдельно доказывается - проводить операции с этими штуками, которые с многоточиями на конце. Складывать их там друг с другом, умножать на число, все дела. И они в этих операциях ведут себя так, как определённые числа. И вот только тогда мы пишем это "=".