Каково реальное напряжение?

[ewert]

profrotter в сообщении #537580 писал(а):

Собственно тут Вы и утверждаете, что на внутренней стороне пластин будут не просто разноимённые заряды, но их абсолютная величина равна $\frac {q_1 - q_2} 2$.

Я про внутреннюю сторону пластин ровным счётом ничего не говорил. Только про полный заряд на каждой пластине. Что там будет на конкретно внутренней стороне -- меня не интересует. Поскольку этим не интересуется формальное определение ёмкости, а я определения уважаю.

[profrotter]

ewert в сообщении #537581 писал(а):

Я про внутреннюю сторону пластин ровным счётом ничего не говорил. Только про полный заряд на каждой пластине. Что там будет на конкретно внутренней стороне -- меня не интересует. Поскольку этим не интересуется формальное определение ёмкости, а я определения уважаю.

Тем не менее, те заряды, которые фигурируют в формальном определении ёмкости, будут находиться именно на внутренней стороне пластин и именно они определяют потенциал проводников и именно это я устанавливаю в сообщении #537445 в строгой, заметьте, электродинамической постановке. Ваше же сообщение (хоть Вы это и отрицаете) позволяет мне говорить как раз о распределение заряда по пластинам. И оно, похоже, действительно будет таким, как Вы указали.

[rustot]

profrotter в сообщении #537580 писал(а):

Можно как-то строго прийти к такому распределению заряда?

В смысле строго? Рассчитать точно распределение? Боюсь в общем случае только численными методами.

Но дело в том что в конденсаторе с такими обычыми допущениеми как 'пренебрегая краевыми эффектами', 'площадь много больше расстояния', 'поле однородно' вы как раз и избегаете поиска точного распределения заряда. Найдя действительно точное распределение, вы лишь чуть поправите результат.

Это можно описать так. Отдельно взятая пластина создает потенциал $U$ на своей поверхности и $0.999 U$ на расстоянии 0.1мм от своей поверхности. Другая то же самое но с другим знаком. Если мы сблизим пластины (и пренебрежем перераспределением заряда на них) на 0.1мм, то по принципу суперпозиции одна пластина создает на себе $U$ и к нему прибавляется $-0.999U$ от другой пластины, в итоге потенциалы пластин становятся $0.001 U$ и $-0.001 U$. Вот так за счет взаимной компенсации потенциалов мы и увеличили емкость.

А перераспределение зарядов и растекание их именно по зазору не является ключевым пунктом. Уменьшение разницы потенциалов произойдет и при сближении непроводящих заряженных пластин, в которых заряды неподвижны. Перераспределение зарядов лишь усиливает эффект, но не обязательно сильно заметно. Если пластины изначально очень тонкие то особо заметно этого не будет. Если в примере выше НЕ пренебрегать перераспределением заряда, может оказаться что при сближении пластин заряды стекаются на одну сторону пластины и создают на расстоянии 0.1 мм от нее уже не $0.999 U$ а $0.9995 U$ тогда потенциалы погасятся сильнее, не в 1000 а в 2000 раз.

ps. в примере выше если заряд второй пластины вдвое больше первой по модулю, то потенциалы будут $U - 1.998U = -0.998U$ и $-2 U + 0.999 U = -1.001U$ то есть разница останется малой, а вот абсолютные значения станут большими.

[ivanhabalin]

Разделить заряды в проводнике, без изменяющегося магнитного поля разве можно?

[ewert]

profrotter в сообщении #537584 писал(а):

те заряды, которые фигурируют в формальном определении ёмкости, будут находиться именно на внутренней стороне пластин

Вовсе нет, конечно. Попросту потому, что само понятие "внутренней стороны" формально не определено. О каких тогда определениях и вовсе может идти речь?...

[profrotter]

Чего там определять? - Внутренние стороны пластин - это те, что обращены друг к другу, те, что смотрят внутрь конденсатора.

[ewert]

profrotter в сообщении #537612 писал(а):

Внутренние стороны пластин - это те, что обращены друг к другу

Их, вообще говоря, нет. И само понятие ёмкости вполне себе определено без разделения поверхностей на унутренние и унешние.

[profrotter]

Давайте всё же оставим в покое краевой эффект и будем, как это принято, считать, что пластины бесконечны, когда нам это удобно, и что они конечны, когда нам это необходимо. В любом случае, как известно, получаемые результаты будут хорошо описывать ситуацию где-то там глубоко внутри конденсатора.

Рассмотрим две пластины с полными зарядами $Q_1$ и $Q_2$ соответственно. В электростатическом случае заряд всегда располагается на поверхности проводника. Считая пластины тонкими, близкорасположенными и большой площади, полагаем, что заряды могут равномерно распределяться только на внешних и на внутренних поверхностях пластин.

Величины, относящиеся к внутренней поверхности пластин я далее снабжаю индексами "i", а к внешней - "e". Левой пластине приписываю индекс "1", правой - "2". В этой системе индексации:
$Q_1^e$ - заряд, находящийся на внешей стороне левой пластины,
$Q_1^i$ - заряд, находящийся на внутренней стороне правой пластины,
$Q_2^e$ - заряд, находящийся на внешней стороне правой пластины,
$Q_2^i$ - заряд, находящийся на внутренней стороне правой пластины,
$\sigma_1^e$ - поверхностная плотность заряда на внешней стороне левой пластины,
$\sigma_1^i$ - поверхностная плотность заряда на внутренней стороне левой пластины,
$\sigma_2^e$ - поверхностная плотность заряда на внешней стороне правой пластины,
$\sigma_2^i$ - поверхностная плотность заряда на внутренней стороне правой пластины.

Полагаем, что мы имеем дело с 4-мя равномерно-заряженными тонкими слоями, но заряд должен распределиться так, чтобы напряжённость электрического поля внутри пластин была равна нулю (Иначе внутри пластин были бы токи, что исключается в электростатическом случае).

Внутри левой пластины 1

$$\overrightarrow{E_1^e}+\overrightarrow{E_1^i}+\overrightarrow{E_2^i}+\overrightarrow{E_2^e}=0,$$

где $\overrightarrow{E_1^e}=\overrightarrow{x^0}\frac {\sigma_1^e}{\varepsilon_0}$ - напряжённость поля создаваемого заряженным слоем, находящимся на внешней стороне левой пластины,
$\overrightarrow{E_1^i}=-\overrightarrow{x^0}\frac {\sigma_1^i}{\varepsilon_0}$ - напряжённость поля, создаваемого заряженным слоем, находящимся на внутренней стороне правой пластины,
$\overrightarrow{E_2^i}=-\overrightarrow{x^0}\frac {\sigma_2^i}{\varepsilon_0}$ - напряжённость поля, создаваемого заряженным слоем, находящимся на внутренней стороне левой пластины,
$\overrightarrow{E_2^e}=-\overrightarrow{x^0}\frac {\sigma_2^e}{\varepsilon_0}$ - напряжённость поля, создаваемого заряженным слоем, находящимся на внешней стороне правой пластины.

Возвращаясь к уравнению баланса напряжённостей внутри левой пластины, запишем:

$$\sigma_1^e-\sigma_1^i-\sigma_2^i-\sigma_2^e=0$$

или, умнажая обе части уравнения на площадь пластин

$$Q_1^e-Q_1^i-Q_2^i-Q_2^e=0. \eqno (1)$$

Аналогично, рассматривая правую пластину 2, получим:

$$Q_1^e+Q_1^i+Q_2^i-Q_2^e=0. \eqno (2)$$

С учётом закона сохранения заряда для каждой из пластин также можем записать:

$$Q_1^e+Q_1^i=Q_1, \eqno (3)$$

$$Q_2^e+Q_2^i=Q_2. \eqno (4)$$

Решая систему уравнений (1)-(4) получим:

$$Q_1^i=-Q_2^i=\frac {Q_1-Q_2} 2,$$

$$Q_1^e=Q_2^e=\frac {Q_1+Q_2} 2.$$

Таким образом, на внутренних поверхностях пластин конденсатора всегда равные и противоположные заряды (именно они связаны с разностью потенциалов и ёмкостью), на наружной части пластин одинаковые по величине и знаку заряды.

[ivanhabalin]

profrotter в сообщении #537966 писал(а):

Таким образом, на внутренних поверхностях пластин конденсатора всегда равные и противоположные заряды (именно они связаны с разностью потенциалов и ёмкостью), на наружной части пластин одинаковые по величине и знаку заряды.

Извините - значит я могу с одной пластины конденсатора подключившись к внутренней и внешней стороне иметь какую то ЭДС?

[profrotter]

ivanhabalin в сообщении #537991 писал(а):

Извините - значит я могу с одной пластины конденсатора подключившись к внутренней и внешней стороне иметь какую то ЭДС?

Не можете, так как потенциал пластины постоянен.

[ivanhabalin]

Я думаю потенциал пластин может быть разным, по отношению к чему он измеряется и зависит от величин зарядов пластин при одинаковых зарядах потенциал между пластинами будет нулевым. А в других случаях определяется ёмкостью и разностью зарядов или как?

[rustot]

для сферического конденсатора хорошо, там никаких краевых эффектов и распределение четко определено. весь заряд внутренней сферы $q_1$ на ее поверхности, равный ему по модулю $-q_1$ на внутренней поверхности внешней сферы. ну а на внешней поверхности внешней сферы все что осталось: $q_2+q_1$.

[ivanhabalin]

rustot
Я предпологаю, что рассматривается конденсатор (два проводника, пластины, цилиндры, и тд.) ёмкость между ними. На проводнике не может быть разных потенциалов в любой точке измерения. (иначе возникнет ток).

[rustot]

ivanhabalin в сообщении #538005 писал(а):

На проводнике не может быть разных потенциалов в любой точке измерения

разницы и нет, заряд так распределяется именно для того чтобы ее не было