Маятник Ньютона

[мат-ламер]

Представим себе прибор - маятник Ньютона. Если кто не видел, то это совопокупность нескольких висящих в ряд шаровых маятников, которые касаются друг друга. Если мы правый крайний маятник отведём в сторону и отпустим, то после соударения с группой шаров, от группы отделится левый шар и пойдёт в сторону с такой же скоростью, какая была у правого шара. Если пренебречь трением и тепловыми потерями, то получим бесконечный циклический процесс. В журнале Квант (№1, 1998г.) предлагалась следующая задача. Допустим отвели вначале два правых шара. Как поведут себя шары после столкновения? Ответ (очевидный) был дан в конце журнала. После столкновения от группы шаров отделятся два левых шара. Т.е. снова получим симметричный бесконечный циклический процесс. Решения в журнале не было. Очевидно, что предложенный ответ удовлетворяет законам сохранения энергии и импульса. Проще всего конечно сказать, что в силу того, что решение единственно, то ответ следует из этих двух законов. Однако, единственно ли решение? Допустим второй и третий шар слева как-то сильно связаны (предположим, что намагничены). Тогда очевидно, что шары разойдутся по-другому. Однако при этом оба закона сохранения также будут выполнены. Вот мой первый вопрос - достаточно ли законов сохранения для решения данной задачи или надо рассматривать какие-то дополнительные соображения?

(Оффтоп)

Продолжение в следующем посту

.

-- Вс фев 12, 2012 11:32:45 --

Хорошо. Допустим ззаконов сохранения не хватает. Мы сначала должны определиться с качественным поведением процесса, а затем законы сохранения дадут количественный ответ. Можно предложить следующее решение. После столкновения второго справа шара (левого из двух отклонённых) по группе шаров пойдёт ударная волна, которая будет последовательно передавть импульс и энергию от одного шара к другому и крайний левый шар отскочит с той же скоростью. Одновременно самый правый шар столкнётся со вторым справа и по группе шаров следом за первой пойдёт вторая ударная волна, которая достигнет второго шара слева, когда первый уже отскочит, и приведёт к отрыву второго слева шара также как и первого. Вопрос второй - правильно ли моё качественное объяснение процесса?

(Оффтоп)

Окончание в следующем посту

.

-- Вс фев 12, 2012 11:41:48 --

И, наконец, в догонку ещё несколько вопросов. Вопрос третий. Как разойдутся шары, если мы справа, как и раньше, отклоняем два шара, а левый второй и третий шар сильно магнитно связаны? Тут можно рассуждать двояко. Первый вариант. Всё будет протекать как и раньше. Второй шар слева вначале отскочит с той же скоростью как и первый слева. Но затем магнитная сила увлечёт за собой и третий шар. И далее они будут двигаться вместе с половинной скоростью. При этом часть энергии превратится в тепло. Второй вариант. Можем предположить, что соударение абсолютно упругое (потерь энергии не происходит) и решить задачу на основе законов сохранения. Какое решение будет правильным?

(Оффтоп)

Продолжение следует

.

-- Вс фев 12, 2012 11:52:41 --

Возникает ещё один каверзный для меня вопрос. Рассмотрим упругое столкновение двух обычных шаров. От первого шара к второму передаётся ударная волна. Она приводит к отрыву второго шара. В нём какое-то время будут туда-сюда идти ударные волны. После их успокоения вдруг выясняется, что энергия и импульс этих волн превратилась в энергию и импульс шара и никаких потерь энергии на тепло не произошло. Теперь рассмотрим вариант, в котором оба шара сильно намагничены таким образом, что после соударения двигаются вместе. Каким-то образом наличие магнита приведёт к тому, что часть энергии ударных волн превратится в тепло. Почему? Хотелось бы получить ответ на качественном уровне, а не основе законов сохранения (где всё очевидно). Вернёмся к маятнику Ньютона. Допустим второй и третий слева шары не связаны магнитной силой, а попросту склеены (допустим даже, что висят на одной нити). Будет ли отличие от варианта, когда они связаны магнитно?

(Оффтоп)

Окончание следует

-- Вс фев 12, 2012 11:56:53 --

Два последних вопроса. Допустим в маятнике Ньютона мы отклоняем один крайний правый шар, но он двойной массы. Как разойдутся шары? Второй вопрос похож на первый (но тождественен ли?) Предложим, что шары одинаковы, но правый и левый шар склеены и висят на одной нити. Как при этом разойдутся шары?

(Оффтоп)

На этот раз всё

[мат-ламер]

Вот тут http://dxdy.ru/topic54792-75.html первые два поста на шестой странице любопытно осмыслить. Но сложновато написаны.

[Munin]

Пусть маятник Ньютона состоит из цепочки шаров разных масс: $m_1,m_2,\ldots m_i,\ldots m_n.$ Шар $m_1$ отводят и отпускают, так что он подходит к цепочке со скоростью $v.$ В результате столкновения шары делятся на группы, движущиеся с разными скоростями.

1. Всегда есть такое деление на группы, при котором выполняются одномерные законы сохранения энергии и импульса. Более того, видимо, для этого достаточно деления на три группы.

2. Это деление однозначно. Казалось бы, математически мы можем перейти к делению на большее число групп, получить больше параметров и тоже удовлетворить законам сохранения энергии и импульса. Но у нас на конечный результат наложены ещё и ограничения, неравенства для скоростей групп $v_{\mathrm{I}}<v_{\mathrm{II}}<\ldots<v_{N}.$ Видимо, деление на большее число групп удовлетворяет этому неравенству (точнее, нестрогой его версии) только тогда, когда некоторые скорости групп совпадают, то есть фактически происходит деление на меньшее число групп.

Думаю, можно доказать 1 и 2. И даже предложить это студентам-математикам.

[mihiv]

Относительно столкновения двух намагниченных шаров.
Намагниченность меняет условия столкновения:а именно за счет взаимного притяжения увеличивается кинетическая энергия в момент столкновения(по сравнению с немагнитным случаем),возрастают необратимые потери энергии и при некоторой величине потерь шары начинают двигаться как одно целое(если,например,деформации материала шаров становятся неупругими).

[Munin]

mihiv в сообщении #537789 писал(а):

возрастают необратимые потери энергии

Вообще-то нет. Такое столкновение можно по-прежнему рассматривать как консервативное.

[mihiv]

В конечном счете все определяется силой магнита:при достаточной силе взаимодействия деформации при соударении станут неупругими,необратимые потери энергии возрастут настолько,что шары не смогут разделиться.

[Утундрий]

Сие не сложно разрешить. Процесс скдыща надобно расчитать. Отношения $\[ \frac{{m_1 - m_2 }} {{m_{`1} + m_2 }} \] $ да $\[ \frac{{2m_1 }} {{m_{`1} + m_2 }} \] $ получить. Картинков изобразить.

Пущай все массы сугубо равны. Для стукателя одного, таковой картинк поимеем:

(Время униз, красное - скдыщь изображает)

Для стукателей чилом два - таковой картинк углядим:


Ежели ж стукатели слипнумшись, отнюдь несообразно весьма средыдущему сие. Ибо:

И как оно возвернувшись с наколебамшимся стрескнется - от шибко много чего зависимость имеет.

[anik]

Сначала не нужно морочить голову с магнитами, дай бог без них разобраться.
Нарисуйте линейку шариков (абсолютно жёстких), но связанных между собой одинаковыми пружинками с заданной жёсткостью. Теперь, задайте такие начальные условия: крайний шарик имеет начальный импульс при $t=0$, а пружины не напряжены. Как будет двигаться такая система шариков (с распределённой массой)? Составьте диффуравнения и решите.
Здесь могут быть два случая: 1. последний шарик связан пружиной как удерживающей связью, тогда в системе возникнут незатухающие колебания из конца в конец; 2. связь с последним шариком не удерживающая, тогда последний шарик улетит, а колебаний в системе уже не будет. Вот в этом втором случае средние шары после передачи импульса сдвинутся в сторону передачи импульса.
(Вот это и есть физическая модель распространения упругой волны деформации в теле, которая должна предшествовать математической модели)

[мат-ламер]

anik в сообщении #537856 писал(а):

2. связь с последним шариком не удерживающая, тогда последний шарик улетит, а колебаний в системе уже не будет. Вот в этом втором случае средние шары после передачи импульса сдвинутся в сторону передачи импульса.

Это очень похоже на правду, но без моделирования мне не очевидно. Спасибо за совет. Попробую разобраться.

[Утундрий]

Ну, не знаю, не знаю... Вот я как-то не нахожу стимула не считать процесс передачи импульса мгновенным. По мне, так тут одно тележек катание, и не более.

[мат-ламер]

Осмыслил кое-что в модели с шариками. При столкновении двух шаров (пока маятник Ньютона не рассматриваем) от места столкновения в противоположные стороны расходятся две волны, которые, отразившись от противоположных сторон шаров, снова встречаются в месте столкновения шаров. Тут нетривиальный ход состоит в том, что волны после столкновения должны уничтожиться. Шары вследствие движения волн по ним, приобретают скорость. В случае, если шары после столкновения скреплены магнитной силой, то волны не взаимоуничтожаются и будут постоянно курсировать туда-сюда по шарам, постепенно превращаясь в тепло. В случае с маятником Ньютона картина несколько усложняется. При отведении в сторону одного шара возникают две ударных волны (а не одна, как я писал). В случае отведения в сторону двух шаров возникают три волны.

[Утундрий]

Обожежмой. Две волны, три волны... лучше всего, конечно, пять волн!

мат-ламер
Простите, а какие там волны? Так навскидку, должна быть какая-то сложная суперпозиция волн сжатия, волн сдвига и поверхностных волн Рэлея. Вы это все честно учитываете или так, общефилософски?

[ivanhabalin]

Уж очень интересный процесс, первый шарик при контакте с вторым, передаёт ему наверное половину кинетической энергии т.к. взаимодействует только со вторым шариком. Второй шарик уже должен как то передать всю кинетическую энергию первого шарика и т.д. последний шарик должен получить импульс движения и в нём всю кинетическую энергию первого шарика.
Для меня – тёмный лес.

[Утундрий]

ivanhabalin в сообщении #537950 писал(а):

Уж очень интересный процесс

Который из? (Тут пытаются штук пять одновременно обсуждать. И волны какие-то )

[мат-ламер]

Утундрий в сообщении #537948 писал(а):

мат-ламер
Простите, а какие там волны? Так навскидку, должна быть какая-то сложная суперпозиция волн сжатия, волн сдвига и поверхностных волн Рэлея. Вы это все честно учитываете или так, общефилософски?

Я рассматриваю волны не в шаре, а волны в модели шара. Модель шара - несколько шариков, связанных пружинками.