Обобщённое неравенство Юнга

[Dave]

Пусть $n$ - любое натуральное число. Докажите, что если положительные числа $p_1,p_2,\dots,p_n$ удовлетворяют соотношению

$$\frac 1 {p_1}+\frac 1 {p_2}+\dots+\frac 1 {p_n}=1,$$

то для любых неотрицательных $x_1,x_2,\dots,x_n$ справедливо неравенство

$$x_1x_2 \dots x_n \leqslant \frac {x_1^{p_1}} {p_1} + \frac {x_2^{p_2}} {p_2} + \dots +\frac {x_n^{p_n}} {p_n}.$$

[Руст]

Простая индукция по n приводит к результату.

[Dave]

Руст в сообщении #537630 писал(а):

Простая индукция по n приводит к результату.

В смысле, если начинать с $n=2$ и за основу взять обычное неравенство Юнга? Можно и так, но для меньших $n$ сумма $\frac 1 {p_i}$ станет меньше $1$ и придётся приводить её к $1$, что не очень приятно. К тому же, по хорошему, само неравенство Юнга тоже надо тогда доказывать, чтобы проверить базу индукции. Так что в любом случае индукция не будет простой. А как без индукции и без обычного неравенства Юнга?

[MrDindows]

СА-СГ:

$$ \frac {x_1^{p_1}} {p_1} +\frac {x_2^{p_2}} {p_2} + \dots +\frac {x_n^{p_n}} {p_n} \ge \left( \frac {1} {p_1} +\frac {1} {p_2} + \dots +\frac {1} {p_n}\right) \sqrt[\frac {1} {p_1} +\frac {1} {p_2} + \dots +\frac {1} {p_n}]{x_1 x_2\dots x_n}=x_1x_2 \dots x_n$$

-- Вс фев 12, 2012 00:17:21 --

Под СА-СГ я подразумеваю такое неравенство:
$a_1x_1+a_2x_2+ \dots + a_nx_n \ge (a_1+a_2+\dots+a_n) \sqrt[a_1+a_2+\dots+a_n]{x_1^{a_1}x_2^{a_2}\dots x_n^{a_n}}$

[RIP]

(Оффтоп)

Честно говоря, не понял, для чего было умножать на $p_1\ldots p_n$. СА–СГ от этого нисколько не меняется. Домножать имеет смысл только для того, чтобы сделать сумму весов равной 1 (тогда нер-во выглядит посимпатичней), но в данном случае это изначально так.

[Padawan]

Следует из неравенства Йенсена. Можно считать, что все $x_i>0$. Возьмем логарифм от обеих частей неравенства

$$ \ln x_1+\ldots+\ln x_n\leqslant \ln\left(\frac{x_1^{p_1}}{p_1}+\ldots+\frac{x_n^{p_n}}{p_n}\right) $$

$\ln x$ как раз выпукла вверх на промежутке $(0,+\infty)$.
Из обобщенного неравенства Юнга, кстати, получается обобщенное неравенство Гельдера (с несколькими функциями).

[MrDindows]

RIP в сообщении #537717 писал(а):

(Оффтоп)

Честно говоря, не понял, для чего было умножать на $p_1\ldots p_n$. СА–СГ от этого нисколько не меняется. Домножать имеет смысл только для того, чтобы сделать сумму весов равной 1 (тогда нер-во выглядит посимпатичней), но в данном случае это изначально так.

Да, вы правы) Просто я сначала подумал, что $p_i$ - натуральные числа, тогда у нас бы было самое обычное СА-СГ, а так получается его как-бы обобщённая форма для нецелых коэффициентов) Ну я не знаю как оно точно называется...

[Dave]

Моё доказательство по сути перекликается с доказательством MrDindows.
Перепишем исходное неравенство так:

$$y_1^{q_1}y_2^{q_2} \dots y_n^{q_n} \leqslant y_1q_1+y_2q_2+\dots+y_nq_n,$$

где $y_i=x_i^{p_i}$, $q_i=\frac 1 {p_i}$, причём $q_1+q_2+\dots+q_n=1$. Возьмём теперь достаточно большое число $m$ и подставим в неравенство между средним геометричеcким и средним арифметическим $[mq_1]$ одинаковых чисел $y_1$, $[mq_2]$ чисел $y_2$ и т.д, и перейдём к пределу при $m \to +\infty$, учитывая, что $\frac {[mq_i]} m \to q_i$. Получим требуемое.
Кстати, если все $p_i$ равны $n$, то можно подстановкой $x_i=\sqrt[n]{y_i}$ опять получить неравенство между средним геометричеcким и средним арифметическим, так что это неравенство в каком-то смысле обобщает не только неравенство Юнга, но и AM-GM.