Моё доказательство по сути перекликается с доказательством
MrDindows.
Перепишем исходное неравенство так:

где

,

, причём

. Возьмём теперь достаточно большое число

и подставим в неравенство между средним геометричеcким и средним арифметическим
![$[mq_1]$ $[mq_1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/1/fa164f31e549f3de3835d35948597ba682.png)
одинаковых чисел

,
![$[mq_2]$ $[mq_2]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/f/0bff79a10cc010b9ad80f8c5188c61eb82.png)
чисел

и т.д, и перейдём к пределу при

, учитывая, что
![$\frac {[mq_i]} m \to q_i$ $\frac {[mq_i]} m \to q_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/8/9a86a58e1d4ef3e59e5af7b3da4e700182.png)
. Получим требуемое.
Кстати, если все

равны

, то можно подстановкой
![$x_i=\sqrt[n]{y_i}$ $x_i=\sqrt[n]{y_i}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/b/82bc5720722e414e7793ac6cecf8a4c882.png)
опять получить неравенство между средним геометричеcким и средним арифметическим, так что это неравенство в каком-то смысле обобщает не только неравенство Юнга, но и AM-GM.