Определитель

[bot]

Хотел заныкать, но Руст не дал.

Пусть $n \ge 4$. Доказать, что для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ найдётся матрица порядка $n$ с определителем равным $a$, диагональные элементы которой равны нулю, а внедиагональные больше $b$.

[Хорхе]

А причем тут $a$ и $b$? Нужно всего-навсего доказать, что для $n\ge 4$ найдется матрица с нулями на диагонали, положительными внедиагональными элементами и определителем со знаком $(-1)^n$ (матрицу с противоположным знаком определителя мы знаем - это та, у которой внедиагональные элементы равны).

[bot]

Что значит причём? Ваша формулировка задачей, очевидно, покрывается, а наоборот?

Да, наоборот тоже получится.

[Руст]

Если b<1 условие с b=1 сильнее. Если b>1, то поделив всё на b сводим к b=1 изменив a. Случай b=1 уже рассмотрели для n=4. Если n>4 достаточно добавить в других местах 1, кроме диагональных, а в диагонали нули. При этом, потребуется корректировать искомое значение a возможно изменением знака при добавлении нечётного количества строк и некоторым сдвигом, зависящим от количества добавленных строк.

[bot]

Можно в условие ещё добавить условие симметричности матрицы.
Сразу у меня не получалось, хотя и хотелось.

[Руст]

Симметричность не ограничивает это. При увеличении размерности мы добавили везде 1, за исключением диагональных, т.е. не нарушили симметричность.

[bot]

Дык, об чём и речь. Моё первоначальное решение нарушало симметричность:
1) Строю по индукции матрицу A порядка n>3 ранга n-1. Стартовая матрица - это матрица порядка 4 с нулями по главной диагонали, с двойками на побочной и с единицами на остальных местах.
Добавлением некоторого столбца справа увеличиваем ранг, затем добавляем к нему сумму нескольких первых с коэффициентами, которые обеспечат положительность всех элементов последнего столбца. Добавляем нижнюю строку - все единицы, кроме последнего места, там ставим нуль. Умножаем на достаточно большое число и матрица готова.
2) Разложение по последней строке обнаруживает, что есть как положительные, так и отрицательные алгебраические дополнения к элементам этой строки. Увеличивая непрерывно один из этих коэффициентов, мы можем непрерывно увеличивать или уменьшать значение определителя.

P.S. Вот придёт Хорхе, тогда и проверим, угадал я его решение или нет.
Моё, конечно, тьфу в сравнении.

[Хорхе]

Да, идея очень похожа (на мою первоначальную). Сейчас я гораздо красивей придумал. Например, как мы строим для четного $n$. Возьмем матрицу с нулями на диагонали и единицами вне. Теперь поставим $x$ на места $(i,s_i)$, где $s_i\neq i$, $s$ -- четная перестановка (это возможно при $n\ge 4$). Тогда определитель будет многочленом от $x$ с положительным коэффициентом при старшей степени. Аналогично строим для нечетного $n$. Конечно, симметричная матрица при этом не всегда получится (только для кратного 4). Впрочем, моя первая конструкция тоже нарушала симметрию. Может, у кого-то выйдет развить идею, чтоб получалась симметричная матрица... Для нечетных оно совсем грустно -- если мы поставим симметрично $x$ на один меньше раз, чем размерность матрицы, коэффициент при старшей степени будет нулевой.

[bot]

Не угадал, стало быть. А я подумал:

Хорхе писал(а):

Нужно всего-навсего доказать, что для $n\ge 4$ найдется матрица с нулями на диагонали, положительными внедиагональными элементами и определителем со знаком $(-1)^n$ (матрицу с противоположным знаком определителя мы знаем - это та, у которой внедиагональные элементы равны).

- это должно означать, что достаточно построить для каждого n две матрицы с определителями разных знаков. Половина дела уже ведь есть. Ну а дальше, рассмотреть матрицу $xA+(1-x)B$, для $x\in [0,1]$.
Кстати, чуть позже это появилось на другом форуме, куда я тоже закинул эту задачу, так что я даже подумал, что Вы и он одно и то же лицо