Аналитическая геометрия.

[lampard]

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки $M(1;2;0)$ и $N(2;1;1)$ и параллельно вектору $\overrightarrow a=(3;0;2)$

У меня есть предположение, что нужно найти вектор $\overrightarrow{MN}$ и далее нормаль найти как векторное произведение $\overrightarrow n =[\overrightarrow{MN}\times\overrightarrow a]$

Ну и потом через уравнение плоскости, проходящей через точку $M$ или $N$ написать искомое уравнение, но чувствую, что здесь есть подвох или нет?

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку $M(3;-2;0)$ перпендикулярно прямой $\;l:\;\;\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-2}{3}$ и расположенной в плоскости $xOy$.

Есть такая идея:

$M_0(-1;0;2)$

$\overrightarrow e=(2;-1;3)$

Тогда нормаль к плоскости

$\overrightarrow n=[\overrightarrow{M_0M}\times \overrightarrow e]$

Только как дальше? Нужна ли нам эта нормаль?

3) Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения плоскости $x-3y+2z+1=0$ с прямыми $l_1:\;\dfrac{x-5}{5}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z-3}{-1}$ и $l_2:\;\dfrac{x-3}{4}=\dfrac{y+4}{-6}=\dfrac{z-5}{2}$

Есть идея записать уравнения $l_1$ и $l_2$ в параметрическом виде и подставить их поочередно в уравнения плоскости, найдя $t_1$ и $t_2$ и потом координаты точек пересечения прямых с плоскостями. И через полученные 2 точки провести прямую, используя уравнение прямой, проходящей через 2 точки. Насколько обоснован подход и можно ли так сделать?

[gris]

1. Собственно, есть точка (любая) и два неколлинеарных вектора. Параметрическое уравнение готово. Ваш способ тоже вполне корректен.

[alcoholist]

lampard в сообщении #537624 писал(а):

У меня есть предположение, что нужно найти вектор $\overrightarrow{MN}$ и далее нормаль найти как векторное произведение $\overrightarrow n =[\overrightarrow{MN}\times\overrightarrow a]$

Ну и потом через уравнение плоскости, проходящей через точку $M$ или $N$ написать искомое уравнение, но чувствую, что здесь есть подвох или нет?

так и надо. подвоха нет, достаточно одной точки

[lampard]

alcoholist в сообщении #537632 писал(а):

так и надо. подвоха нет, достаточно одной точки

Спасибо.
Вроде как в этой плоскости будет лежать вектор $\overrightarrow{a}$, а плоскость ему параллельна должна быть, то есть он не должен в ней лежать или я не прав?

[gris]

2. От прямой нам только направляющий вектор, он же нормаль к плоскости, и нужен. Проводим эту плоскость через точку (отмечая, что она лежит в нужной координатой плоскости. А у Вас она перекочевала из первой задачи, поправьте), а затем находим пересечение плоскостей.

[lampard]

gris в сообщении #537631 писал(а):

1. Собственно, есть точка (любая) и два неколлинеарных вектора. Параметрическое уравнение готово. Ваш способ тоже вполне корректен.

Спасибо, но все тот жк вопрос -- может ли вектор а лежать в Этой плоскости?

[gris]

Вектор не обязан лежать или не лежать в этой плоскости. Он свободный.
Вообще про векторы корректно говорить "коллинеарен" или "компланарен", а параллельность понимается в расширенном смысле.

3. Так можно сделать.

[lampard]

gris в сообщении #537640 писал(а):

2. От прямой нам только направляющий вектор, он же нормаль к плоскости, и нужен. Проводим эту плоскость через точку (отмечая, что она лежит в нужной координатой плоскости. А у Вас она перекочевала из первой задачи, поправьте), а затем находим пересечение плоскостей.

А какая точка перекочевала?

$\;l:\;\;\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-2}{3}$

$M_0(-1;0;2)$

$\overrightarrow n=(2;-1;3)$

$2(x+1)-y+3(z-2)=2x-y+3x-4=0$ -- уравнение плоскости

А как учесть это?

Цитата:

расположенной в плоскости $xOy$.
А что там перекочевало? Вот так должно быть?

[gris]

Точка $(-1,0,2)$ перекочевала. Или откуда Вы её взяли? Она не лежит в плоскости $XOY$, а значит и искомая прямая через неё проходить не может. Нам нужна точка $(3,-2,0)$ для плоскости. А пересечь эту плоскость с координатной дело простое. Написать уравнение этой координатной плоскости, да и подставить.

[lampard]

gris в сообщении #537656 писал(а):

Точка $(1,0,2)$ перекочевала. Или откуда Вы её взяли? Она не лежит в плоскости $XOY$, а значит и искомая прямая через неё проходить не может. Нам нужна точка $(3,-2,0)$ для плоскости. А пересечь эту плоскость с координатной дело простое. Написать уравнение этой координатной плоскости, да и подставить.

А там ее нету в второй задаче. Есть точка $M(3;-2;0)$ и $(-1,0,2)$

То есть там со знаком минус абсцисса. Или это не меняет суть дела? Ведь эта точка принадлежит прямой $l$ (которая дана в условии) и не обязана лежать в плоскости $x0y$ и принадлежать искомой прямой или что-то я понимаю не так?

[gris]

Я перепутал со знаком. $(-1,0,2)$ лежит на прямой из условия и нам совершенно не нужна. Плоскость, перпендикулярная этой прямой, должна проходить через точку $(3,-2,0)$.

[lampard]

Спасибо. Вот так получается

$2(x-3)-(y+2)=2x-y-8=0$

И ответ вот такой?

$$\left\{\begin{matrix} 2x-y-8=0\\ z=0\\ \end{matrix}\right.$$

[gris]

Проверить легко. Да.
При проверке возникает идея, что можно и без плоскости было обойтись. Спроектировав заданную прямую на координатную плоскость, сразу получим направляющий вектор искомой прямой. И отложив его от нужной точки, получим каноническое уравнение.
Получив решение, не спешите переходить к другой задаче. Попробуйте упростить, улучшить.