Найти нетривиальную G с тривиальной Ab(G) ранга 2

[Sonic86]

Нужен пример группы $G=\langle x,y| r_1,r_2\rangle$ с тривиальной абелианизацией $\operatorname{Ab}G=\{e\}$ (т.е. гомоморфизм группы в абелеву группу имеет тривиальный образ).
Понятно, что достаточно брать $G=\langle x,y| x=k_1(x,y), y=k_2(x,y)\rangle$, где $k_1,k_2$ - элементы коммутанта группы.
Я сначала взял $G=\langle x,y| x=yxy^{-1}x^{-1}, y=xyx^{-1}y^{-1}\rangle$, но она у меня преобразованиями Титце привелась к тривиальной (не наврал ли?). $G=\langle x,y| x=yxy^{-1}x^{-1}, y=xy^2x^{-1}y^{-2}\rangle$ тоже привелась. Сижу вот и недоумеваю: не приводятся же все они...
Если бы был эффективный алгоритм проверки $G \cong \{ e\}$, было бы вообще прекрасно.

[bot]

То есть нужна группа, совпадающая со своим коммутантом?

[Sonic86]

Так, я кажется криво написал. Уточню:
Нужна $G=\langle x,y| r_1,r_2\rangle \neq \{e\}$ такая, что $G=\langle x,y| r_1,r_2,xy=yx\rangle = \{e\}$.

(Оффтоп)

Это просто для свободной $F=\langle x_j\rangle$ будет $\operatorname{Ab}F=F/F'=\langle x_j| x_ix_j=x_jx_i\rangle$, а для не свободной кажется нет, поэтому я спутал.

[bot]

Дык добавление нового соотношения ($x^{-1}y^{-1}xy$) означает факторизацию, этот фактор абелев и должен стать тривиальным, стало быть нормальная подгруппа, порождённая коммутатором $x^{-1}y^{-1}xy\in G'$, должна совпадать с $G$, значит $G=G'$.

[Sonic86]

Да, действительно.
А что - отсюда уже что-то следует?

[bot]

Группы, совпадающие со своим коммутатором есть. Остаётся пошукать среди них двупорождённую. Например, любая неабелева простая двупорождённая сгодится - есть такие, наверное.

[Sonic86]

bot в сообщении #537471 писал(а):

Группы, совпадающие со своим коммутатором есть. Остаётся пошукать среди них двупорождённую. Например, любая неабелева простая двупорождённая сгодится - есть - такие, наверное.

Я посмотрел представления $A_n$ - там $n$ образующих. Упрощать не пробовал, но что-то сомневаюсь - там же еще число соотношений надо $=2$ сохранить. $PSL(\mathbb{Z}_p)$ по-моему не лучше.
Еще вопросик: правильно, что если $G$ существует, то она бесконечна? Или я заблуждаюсь?

[bot]

Похоже, среди конечных простых нет двупорождённых.

[Sonic86]

bot в сообщении #537503 писал(а):

Похоже, среди конечных простых нет двупорождённых.

Спасибо, попробую хоть так, если совсем ничего не получится.