Может ли непрерывный линейный оператор взаимно однозначно отображать неполное нормированное пространство на полное нормированное пространство?
Может.
Пусть

- бесконечномерное сепарабельное банахово пространство. Берём в пространстве

базис Гамеля

,

. Поскольку пространство

сепарабельно и полно, то

(в противном случае из сепарабельности и бесконечномерности бы следовало, что базис Гамеля счётен, а тогда пространство

не полно). Определим новую норму в

по формуле: если

, то

. В качестве искомого оператора возьмём тождественый оператор из

в

. Этот оператор является сжимающим и взаимно однозначным, но, как нетрудно проверить, обратный оператор к нему не является непрерывным. Поэтому из теоремы Банаха об обратном операторе следует, что

неполно.
(Этот пример есть в упражнении, если не ошибаюсь, 2.4.2. из "Лекций по функциональному анализу" Хелемского).