Полное и неполное пространства

[Padawan]

Может ли непрерывный линейный оператор взаимно однозначно отображать неполное нормированное пространство на полное нормированное пространство?

[mihailm]

Берем пространство непрерывных функций, оператор единичный, нормы разные в одной полное в другой неполное это про-во
Это не то что надо?

[Padawan]

Какие именно нормы берем? Надо еще чтобы отображение непрерывным было.

[mihailm]

Непрерывную и интегральную

[ewert]

Он в определённом смысле

mihailm в сообщении #537424 писал(а):

Непрерывную и интегральную

Там не в ту сторону непрерывность будет.

Или я что-то путаю, или подобная ситуация противоречит теореме о замкнутом графике.

[Padawan]

Отображение $\mathrm{id}\colon (C[0,1],\|\cdot\|_1)\to (C[0,1],\|\cdot\|_\infty)$ не является непрерывным: из сходимости интегралов к нулю не следует равномерная сходимость к нулю.

-- Сб фев 11, 2012 17:08:08 --

Если что, это задача из учебника Богачев, Смолянов Действительный и функциональный анализ (задача 6.10.92)

[mihailm]

ewert в сообщении #537429 писал(а):

Он в определённом смысле

mihailm в сообщении #537424 писал(а):

Непрерывную и интегральную

Там не в ту сторону непрерывность будет.

Или я что-то путаю, или подобная ситуация противоречит теореме о замкнутом графике.

(Оффтоп)

Думать надо а ведь воскресенье, в лом)

[Padawan]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #537450 писал(а):

Думать надо а ведь воскресенье, в лом)

Сегодня суббота

[hippie]

Ответ: Может.

Пусть $B$ — бесконечномерное банахово пространство; $B'$ — его плотное линейное подпространство коразмерности 1; $\vec{x}\in B \setminus B',$ причём $||\vec{x}|| = 1.$
Тогда каждый вектор $\vec{z}\in B$ единственным образом представляется в виде $\vec{z}=c\vec{x}+\vec{y},$ где $\vec{y}\in B'.$
Пусть $B_1$ — пространство с тем же носителем, что и $B$ и нормой $||\vec{z}||_{B_1}=|c|+||\vec{y}||_B .$
Тогда пространство $B_1$ неполно (поскольку содержит замкнутое неполное подпространство $B'$) и $||\vec{z}||_B \le ||\vec{z}||_{B_1}.$
Следовательно тождественный оператор $\text{Id}: B_1 \to B$ — искомый.

[MaximVD]

Padawan в сообщении #537403 писал(а):

Может ли непрерывный линейный оператор взаимно однозначно отображать неполное нормированное пространство на полное нормированное пространство?

Может.
Пусть $(X, \| \cdot \|)$ - бесконечномерное сепарабельное банахово пространство. Берём в пространстве $X$ базис Гамеля $\{ e_{\nu} \}$, $\nu \in \Lambda$. Поскольку пространство $X$ сепарабельно и полно, то $\inf_{\nu, \lambda } \| e_{\nu} - e_{\lambda} \| = 0$ (в противном случае из сепарабельности и бесконечномерности бы следовало, что базис Гамеля счётен, а тогда пространство $X$ не полно). Определим новую норму в $X$ по формуле: если $x = \sum_{k = 1}^n \lambda_k e_{\nu_k}$, то $\| x \|_1 = \sum_{k=1}^n | \lambda_k |$. В качестве искомого оператора возьмём тождественый оператор из $(X, \| \cdot \|_1)$ в $(X, \| \cdot \|)$. Этот оператор является сжимающим и взаимно однозначным, но, как нетрудно проверить, обратный оператор к нему не является непрерывным. Поэтому из теоремы Банаха об обратном операторе следует, что $( X, \| \cdot \|_1)$ неполно.
(Этот пример есть в упражнении, если не ошибаюсь, 2.4.2. из "Лекций по функциональному анализу" Хелемского).

[Padawan]

MaximVD
Спасибо!

[mihailm]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #537458 писал(а):

[off]

mihailm в сообщении #537450 писал(а):

Думать надо а ведь воскресенье, в лом)

Сегодня суббота

Во блин, точно)