Сумма ряда

[Keter]

Помогите доказать и обобщить тождество

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2+k+1} = \frac{\pi}{4}$

Не знаю с чего начинать, подскажите

[nnosipov]

А это равенство неверно. Ответ к такого рода суммам выражается через гиперболические функции. Доказательство проводится методами ТФКП.

Понял, где у Вас опечатка. Вы забыли $\arctg$ перед дробью. В этом случае ответ верен, и это известная задача. Для доказательства нужно воспользоваться тождеством для разности двух арктангенсов.

[Keter]

спасибо, скорее всего составитель опечатался

[Keter]

Нее, там всё правильно: интеграл от 1 делить на 1+к в квадрате именно арктангенс. Ну а потом подставить пределы интегрирования и будет пи на 4.

[Klad33]

Вы имеете в виду:

$\int \limits_{0}^{1}\! \frac{dk}{{k}^{2}+1} =\frac{\pi}{4}$

???
Но это ничего общего не имеет с заданием (первый пост).

[nnosipov]

Keter в сообщении #521525 писал(а):

Нее, там всё правильно: интеграл от 1 делить на 1+к в квадрате именно арктангенс.

Где там и что именно правильно? Я имел в виду равенство

$$ \sum_{k=1}^\infty \arctg{\frac{1}{k^2+k+1}}=\frac{\pi}{4}. $$

Вот оно действительно правильное.

[Keter]

А как его доказать?!

[nnosipov]

nnosipov в сообщении #521543 писал(а):

А как его доказать?!

Телескопическое суммирование. Но сначала повспоминайте разные тождества с арктангенсами.

[Fedya]

Решил методом математической индукции

[Leox]

Кстати

$$ \sum _{k=0}^{\infty } \frac{1}{ {k}^{2}+k+1} =\frac 13\,\sqrt {3}\pi \,\tanh \left( 1/2\,\pi \,\sqrt {3} \right) $$