Минуту назад придуманная мной задача по теории чисел

[Ktina]

Назовём натуральное число $n$ земляничным числом порядка $m$, если все его десятичные цифры больше единички, и произведение любых $m$ его цифр (не обязательно различных) является делителем самого числа.

Доказать, что для любых натуральных $a$ и $b$ существует бесконечно много земляничных чисел порядка $a$, в десятичной записи каждого из которых не менее $b$ разрядов.

[hippie]

В двух словах.

Нужное число можно составить, например, только из цифр 2 и 3.

Хорошо известно, что можно построить $a-$значное число $x$, состоящее только из цифр 2 и 3, которое кратно $2^a.$

Пусть $k$ такое, что $3^k>b$ и $k>a.$

Тогда число, равное $3^k$ раз подряд записанному числу $x$ удовлетворяет условию задачи.

Примечание: условие "все его десятичные цифры больше единички" можно заменить более сильным: "все его десятичные цифры больше семёрки" .

[Руст]

hippie в сообщении #536904 писал(а):

В двух словах.


Примечание: условие "все его десятичные цифры больше единички" можно заменить более сильным: "все его десятичные цифры больше семёрки" .

Это неверно. Вряд ли найдется хотя бы одно земляничное число из восьмерок и девяток.

[hippie]

Руст в сообщении #536920 писал(а):

hippie в сообщении #536904 писал(а):

В двух словах.


Примечание: условие "все его десятичные цифры больше единички" можно заменить более сильным: "все его десятичные цифры больше семёрки" .

Это неверно. Вряд ли найдется хотя бы одно земляничное число из восьмерок и девяток.

Найдётся. И даже записываемое только девятками.

Число, записываемое $k\cdot 9^{a-1}$ девятками, делится на $9^a,$ т.е. на произведение любых своих $a$ цифр.

Число, которое содержит кроме девяток ещё и "много" восьмёрок, строится так же, как я описал для двоек и троек.

[Руст]

Если количество цифр девяток а, восьмерок b, то $a+b$ значное число должно делится на $8^b*9^a$. Чисел с таким набором цифр всего $\frac{(a+b)!}{a!b!}$ и обеспечить делимость не удастся. Во первых последние 3 цифры восьмерки. Тогда имеется делимость на $8^3$, значит на 16, следовательно следующая цифра 9. Далее делимость на каждую степень двойки однозначно определяет цифру 8 или 9. Для того, чтобы обеспечить делимость только на $8^b$ скорее потребуется больше цифр, чем $a+b$, если это обеспечим, то не удастся выполнить делимость на $9^a$. В этом смысле я имел в виду, вряд ли найдется хотя бы одно земляничное число из восьмерок и девяток.
Единственное земляничное число из 9 это само 9. Вообще любое число с одной цифрой земляничное.

[Ktina]

hippie в сообщении #536904 писал(а):

В двух словах.

Нужное число можно составить, например, только из цифр 2 и 3.

Хорошо известно, что можно построить $a-$значное число $x$, состоящее только из цифр 2 и 3, которое кратно $2^a.$

Пусть $k$ такое, что $3^k>b$ и $k>a.$

Тогда число, равное $3^k$ раз подряд записанному числу $x$ удовлетворяет условию задачи.

Примечание: условие "все его десятичные цифры больше единички" можно заменить более сильным: "все его десятичные цифры больше семёрки" .

Хотела многое написать в ответ, но только что проснулась, а меня опередили.

Во-первых, не обязательно 2 и 3, можно только тройки.
Во-вторых, не только больше семёрки, но и больше восьмёрки.
Но поздно уже шашкой махать, надо было вставать раньше

-- 10.02.2012, 09:57 --

Руст в сообщении #536940 писал(а):

Единственное земляничное число из 9 это само 9.

Ну почему?
Число из 27 девяток делится на 81, следовательно является земляничным числом второго порядка.
Видимо, Вы условие задачи как-то альтернативно поняли.

[Руст]

А я пытался найти хотя бы одно число без ограничения с m.
Найти числа без нулей, которые делятся на произведение своих цифр. По всей видимости таких чисел без единичек конечное число.

[Ktina]

Руст в сообщении #536955 писал(а):

А я пытался найти хотя бы одно число без ограничения с m.
Найти числа без нулей, которые делятся на произведение своих цифр. По всей видимости таких чисел без единичек конечное число.

Без ограничения с $m$ - такого нету. Любое натуральное число состоит из конечного количества цифр.

[Руст]

С 1 их бесконечно много. К тому же такие числа с 1 более общие (и более красивые) чем ваши, достаточно требовать не менее $m$ цифр не 1.
Примеры земляничных чисел без 1 в моем понимании $24,224,4224,...$

[hippie]

Ktina в сообщении #536952 писал(а):

hippie в сообщении #536904 писал(а):

В двух словах.

Нужное число можно составить, например, только из цифр 2 и 3.

Хорошо известно, что можно построить $a-$значное число $x$, состоящее только из цифр 2 и 3, которое кратно $2^a.$

Пусть $k$ такое, что $3^k>b$ и $k>a.$

Тогда число, равное $3^k$ раз подряд записанному числу $x$ удовлетворяет условию задачи.

Примечание: условие "все его десятичные цифры больше единички" можно заменить более сильным: "все его десятичные цифры больше семёрки" .

Хотела многое написать в ответ, но только что проснулась, а меня опередили.

Во-первых, не обязательно 2 и 3, можно только тройки.
Во-вторых, не только больше семёрки, но и больше восьмёрки.
Но поздно уже шашкой махать, надо было вставать раньше

Первый раз я отвечал ночью, в состоянии "поднять подняли, а разбудить забыли" . И прочитал в условии то, чего там не было. (А именно, что Земляничное Число не может состоять из одинаковых цифр.) Написал первое, что пришло в голову. А то, что и в этом случае есть более простое решение (составить число из троек и девяток), упустил.


Более интересные вопросы:
1. Останется ли утверждение задачи верным, если дополнительно потребовать, чтобы в записи Земляничного Числа была хотя бы одна пятёрка?
2. Какое наибольшее количество пятёрок может быть в Земляничном Числе 2012 порядка?

[Руст]

Так как нулей нет, то число заканчивается на 5, если имеется две цифры и как минимум второго порядка, то число должна заканчиваться на 25. Но это число уже не делится на 2. Т.е. не более одной пятерки. При этом остальные цифры могут быть только 3,7,9. Без семерок нельзя обеспечить делимость на 3 (5 не делится и больше одной не проходит). Только 7 так же нельзя. Обеспечить делимость числа на $7^{2012}*9^{2012}$ с одной пятеркой в конце можно.

[hippie]

Руст в сообщении #537052 писал(а):

Т.е. не более одной пятерки.

Нет! Пятёрок может быть и больше.

————————————————————————

Только сейчас обратил внимание, что условие можно трактовать неоднозначно.
А именно фразу "произведение любых $m$ его цифр (не обязательно различных) является делителем самого числа" я понимаю так, что цифры, входящие в произведение могут быть и одинаковыми, но должны стоять на разных местах. Т.е. цифра может входить в произведение не больше раз, чем она встречается в числе.
(Хотя эту фразу можно понимать и так, что если цифра встречается в числе хотя бы раз, то в произведение она может войти в любой степени. В этом случае, при достаточно большом $m,$ в десятичной записи Земляничного Числа порядка $m$ не может быть пятёрок.)

И, конечно, в задаче 2 Число должно содержать не менее 2012 цифр (так что хотя бы одно произведение можно составить).
(Иначе ответ был бы 2011 пятёрок .)