Замкнутая ломаная и окружность. Гомеоморфность.

[FFFF]

Здравствуйте!
Нужно доказать, что замкнутая несамопересекающаяся ломаная $\Gamma$ в $\mathbb{R}^2$ гомеоморфна окружности $S^1$. Пусть $\Gamma=\{ (x(t),y(t))|t \in [0,1]\}$

Если ломаная ограничивает выпуклую фигуру, то проблем нет - каждому звену можно сопоставить дугу окружности (например, центральной проекцией), это и будет нужный гомеоморфизм. В общем случае: в качестве гомеоморфизма я хочу взять

$$f(x(t),y(t))=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$$

Ну и, собственно, вопрос - будет ли это гомеоморфизмом? Я думаю да, т.к. отображение $t \rightarrow (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ - гомеоморфизм отрезка $[0;1]$ в $S^1$. Но сама $\Gamma$ этому отрезку не гомеоморфна (т.к. отображение, которым она задаётся, не инъективно). Можно ли это как-то обойти? Вообще, верны ли рассуждения?

[Someone]

FFFF в сообщении #536638 писал(а):

отображение $t \rightarrow (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ - гомеоморфизм отрезка $[0;1]$ в $S^1$

Дык, и это тоже не гомеоморфизм. По той же причине.

[FFFF]

Someone в сообщении #536640 писал(а):

FFFF в сообщении #536638 писал(а):

отображение $t \rightarrow (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ - гомеоморфизм отрезка $[0;1]$ в $S^1$

Дык, и это тоже не гомеоморфизм. По той же причине.

Точно! Надо выколоть одну точку из окружности, чтобы получился гомеоморфизм. Но как тогда быть? Вообще, изначальное утверждение верное?

[Someone]

Да просто определите соответствие между ломаной и окружностью так, как Вы хотели (оно ведь взаимно однозначное), и проверьте непрерывность в обе стороны.

[Padawan]

Попробуйте доказать индукцией по числу звеньев ломаной.