Представление интеграла по мере Хаусдорфа

[Nimza]

Есть интеграл

$$ \int\limits_{M^k} f(x) H^k(dx) $$

где $M^k$ -- k-мерное подмногообразие $\mathbb{R}^n$, $H^k$ -- $k$-мерная мера Хаусдорфа. Есть ли возможность представить этот интеграл как интеграл от некоторой дифференциальной формы?

В частности, интересно для случая гиперповерхностей $M^{n-1} = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid g(x) = 0 \}$.

Подозреваю, что это будет форма объёма

[alcoholist]

если я правильно помню, это называется интегрированием плотностей... и, кажется, что-то есть в кирпиче Уитни Х. ( Whitney ) Геометрическая теория интегрирования ИЛ 1960 530 p

[Nimza]

Спасибо Я, кстати, пришёл к этому вопросу, читая книжку с тем же названием: Krantz, Parks "Geometric Integration Theory" (легко читается и интересно довольно). Но как-то плотности мер пропустил. В ней нашёл формулу коплощади (coarea formula), частично отвечающую на эту тему http://dxdy.ru/topic54819.html (это по сути она и есть, только вместо формы стоит мера Хаусдорфа).

Кстати, в $\mathbb{R}^3$ поверхностный интеграл первого рода совпадает же с интегралом по двумерной мере Хаусдорфа по той же поверхности? Или же последний обобщает его на более широкий класс функций?

[Nimza]

Ответ утвердительный, подходит именно форма объёма. Доказывается с помощью формулы площади (area formula) [см. Федерер "Геометрическая теория меры"].