Соседние простые числа, оценка сверху для разности

[Lion]

У меня возник следующий вопрос: как можно оценить сверху разность последовательных простых чисел? Меня интересуют самые последние оценки, а не такие, как постулат Бертрана. Интересны даже оценки, следующие из гипотезы Римана.

По смыслу моей задачи, должно выполняться неравенство $p_k-p_{k-1} < C \cdot \ln k$. Действительно ли такое неравенство есть (пусть и в предположении справедливости гипотезы Римана)? и чему тогда равна константа С?

Также мне важен вопрос о константе с в неравенстве $p_k > ck\ln k$. Тоже интересны как можно большие значения с, пусть и следующие из гипотезы Римана.

Может ли кто-нибудь указать такие оценки или по крайней мере кинуть ссылку, где их можно найти?

[Sonic86]

В Прахаре в главе Большие приращения соседних простых чисел 1-е утверждение:
для бесконечно многих $k$ выполняется

$$p_k-p_{k-1} >c \ln p_k \frac{\ln _2 p_k \ln _4 p_k}{\ln _3^2 p_k}$$

а $p_k>k$.
Автор вроде Ранкин.
Вот тут еще есть: http://mathworld.wolfram.com/PrimeGaps.html

upd 16.08.2011:

Lion в сообщении #475413 писал(а):

Также мне важен вопрос о константе с в неравенстве $p_k > ck\ln k$. Тоже интересны как можно большие значения с, пусть и следующие из гипотезы Римана.

Что-то численно не удалось найти $k: c_k = \frac{p_k}{k \ln k}<1$. Локальный минимум получается для $k=30$.

[tnt123_83]

разность последовательных простых оценивается меньшим в некоторой степени A, если память мне не изменяет (а она у меня редкая потаскуха), то до A<1/2 ещё не добрались (для всех простых), но уже близко

[Sonic86]

О, я добавлю еще: эмпирически получается предположить утверждение посильнее, чем $p_{n+1}-p_n=O(n^{1/2+\varepsilon})$, следующее из гипотезы Римана. Это т.н. гипотеза Крамера: $p_{n+1}-p_n=O(\ln ^2 n)$:
http://en.wikipedia.org/wiki/Cram%C3%A9r%27s_conjecture