Здравствуйте уважаемые друзья!
Попалась такая задачка из "Алгоритмы. Арифметика. Сложность вычислений", но что-то не могу ее решить до конца.
Пусть

и
![$a_k=[\sqrt{a_1+\dots+a_{k-1}}]$ $a_k=[\sqrt{a_1+\dots+a_{k-1}}]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/6/b86e72e08ec6f1914e3972cbae9045c282.png)
при

. Чему равно

?
Вот моя попытка решения: Я выписал несколько первых членов этой последовательности и получил следующее:

Я пришел к такой закономерности, что в этой последовательности встречаются все натуральные числа, причём 1 встречается в ней 4 раза, числа вида

, где

по 3 раза, а остальные встречаются по 2 раза.
К сожалению строго доказать эту закономерность я что-то не могу. Помогите пожалуйста.
Например одну из этих закономерностей можно сформулировать так: Если

и

, то

.
С уважением, Whitaker.