Решить в радикалах

[Сергей Маркелов]

У уравнения $\LARGE{x^7+7x^3-7x^2+7x+1=0}$ есть один действительный корень. Выразить его в радикалах.

[nnosipov]

Вы должны уточнить, о радикалах над каким полем здесь идёт речь (обычно --- это поле рациональных чисел). И второй момент --- в каких радикалах следует выразить: в комплекснозначных или же только в вещественных (обе постановки задачи естественны и вполне содержательны).

[Сергей Маркелов]

nnosipov в сообщении #536392 писал(а):

Вы должны уточнить, о радикалах над каким полем здесь идёт речь (обычно --- это поле рациональных чисел). И второй момент --- в каких радикалах следует выразить: в комплекснозначных или же только в вещественных (обе постановки задачи естественны и вполне содержательны).

В случае этого конкретного уравнения его единственный действительный корень можно выразить через вещественные радикалы от рациональных чисел. Без использования комплексных чисел. Сделайте это.

[gris]

Можно попробовать разложить многочлен в произведение двух квадратных и кубического, изо всех сил надеясь, что в них коэффициенты при старших и при нулевой степени единички. Авось подберутся четыре числа, может быть даже целых.

[uzbekistan]

послушайте [url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^7%2B7x^3-7x^2%2B7x%2B1%3D0&t=crmtb01[/url]

[Edward_Tur]

Задача попроще:
У уравнения $\LARGE{x^7-7x^5+14x^3-7x-4=0}$ есть один действительный корень. Выразить его в радикалах.

[Ktina]

uzbekistan в сообщении #538638 писал(а):

послушайте [url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^7%2B7x^3-7x^2%2B7x%2B1%3D0&t=crmtb01[/url]

Тогда уж так: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... 7x%2B1%3D0
Но там - не в радикалах, даже если кликнуть "Exact Form".

[Edward_Tur]

$\LARGE{x^7-7x^5+14x^3-7x-4=0}$

$x=\sqrt[7]{{2 + \sqrt 3 }} + \sqrt[7]{{2 - \sqrt 3 }}$

[nnosipov]

Edward_Tur в сообщении #539076 писал(а):

$\LARGE{x^7-7x^5+14x^3-7x-4=0}$

$x=\sqrt[7]{{2 + \sqrt 3 }} + \sqrt[7]{{2 - \sqrt 3 }}$

Это --- второй тип конструкции, что приходим на ум. А первый --- это сумма обычных (не вложенных) радикалов 7-й степени. Вот здесь я мог бы обойтись без группы Галуа. А так ничего не остаётся как с ней возиться.

[Edward_Tur]

nnosipov в сообщении #539085 писал(а):

Edward_Tur в сообщении #539076 писал(а):

$\LARGE{x^7-7x^5+14x^3-7x-4=0}$

$x=\sqrt[7]{{2 + \sqrt 3 }} + \sqrt[7]{{2 - \sqrt 3 }}$

Это --- второй тип конструкции, что приходим на ум. А первый --- это сумма обычных (не вложенных) радикалов 7-й степени. Вот здесь я мог бы обойтись без группы Галуа. А так ничего не остаётся как с ней возиться.

Для первого типа придумал только такое:
$\LARGE{x^7+14x^5+56x^3+56x-8=0}$

$x=\sqrt[7]{16} - \sqrt[7]{8}$

[nnosipov]

Edward_Tur в сообщении #539106 писал(а):

Для первого типа придумал только такое:
$\LARGE{x^7+14x^5+56x^3+56x-8=0}$

Придумать-то несложно. Берём какой-нибудь $\theta=\sqrt[7]{13}$ и пишем что-нибудь типа $\alpha=f(\theta)$, где $f(x)$ --- многочлен степени не выше шестой с рациональными коэффициентами. Потом сочиняем уравнение для $\alpha$, оно будет как раз седьмой степени. Другое дело --- как потом эту $\alpha$ обратно из уравнения вытащить. Но вот здесь есть вроде бы алгоритм (у меня когда-то давно было опубликовано в одной статье). Попробую как-нибудь на Вашем примере его провернуть.

[maxal]

Сергей Маркелов в сообщении #536323 писал(а):

У уравнения $\LARGE{x^7+7x^3-7x^2+7x+1=0}$ есть один действительный корень. Выразить его в радикалах.

Дык gap+radiroot такие задачки как орешки щёлкает...

[nnosipov]

maxal в сообщении #539663 писал(а):

Дык gap+radiroot такие задачки как орешки щёлкает...

А подробней можно? radiroot --- это какой-то пакет в gap?

[maxal]

nnosipov в сообщении #539739 писал(а):

А подробней можно? radiroot --- это какой-то пакет в gap?

Да - вот пример: post74314.html#p74314
В данном случае он дает такой ответ:

An expression by radicals for the roots of the polynomial $x^{7} + 7x^{3} - 7x^{2} + 7x + 1$ with the $n$-th root of unity $\zeta_n$ and

$\omega_1 = \sqrt[7]{ - \frac{3}{343} - \frac{5}{343}\zeta_{7}^{3} - \frac{4}{343}\zeta_{7}^{4} - \frac{4}{343}\zeta_{7}^{5} - \frac{5}{343}\zeta_{7}^{6}},$

is:

$$\omega_1 + \zeta_{7}^{3}\omega_1^2-\zeta_{7}^{4}\omega_1^2-\zeta_{7}^{5}\omega_1^2 + \zeta_{7}^{6}\omega_1^2 - 5\omega_1^3 + \zeta_{7}^{3}\omega_1^3 - 2\zeta_{7}^{4}\omega_1^3 - 2\zeta_{7}^{5}\omega_1^3 + \zeta_{7}^{6}\omega_1^3 + 7\omega_1^4 + 7\zeta_{7}^{4}\omega_1^4 + 7\zeta_{7}^{5}\omega_1^4 + 7\zeta_{7}^{3}\omega_1^5 - 7\zeta_{7}^{4}\omega_1^5 - 7\zeta_{7}^{5}\omega_1^5 + 7\zeta_{7}^{6}\omega_1^5 + 21\omega_1^6 - 14\zeta_{7}^{3}\omega_1^6 + 28\zeta_{7}^{4}\omega_1^6 + 28\zeta_{7}^{5}\omega_1^6 - 14\zeta_{7}^{6}\omega_1^6.$$

[nnosipov]

maxal, спасибо, очень интересно. (Да, неплохие темы обсуждались несколько лет назад. Приятно, что они иногда всплывают.) Видимо, в $\omega_1$ под знаком корня находится какая-то квадратичная иррациональность? Или что-то кубическое? Других вариантов вроде бы нет.