Решить в радикалах

[Сергей Маркелов]

nnosipov в сообщении #539903 писал(а):

maxal, спасибо, очень интересно. (Да, неплохие темы обсуждались несколько лет назад. Приятно, что они иногда всплывают.) Видимо, в $\omega_1$ под знаком корня находится какая-то квадратичная иррациональность? Или что-то кубическое? Других вариантов вроде бы нет.

Под знаком корня в w1 находится корень вот такого уравнения:

$232630513987207x^6+96889010407x^4+1291315424x^3+25412184x^2-117306x+1303$

Если для простоты убрать знаменатель 343 из подкоренного выражения для w1, то результат будет корнем такого уравнения

$f(x)=x^6+49x^4+224x^3+1512x^2-2394x+9121$

У этого уравнения нет действительных корней (все 6 -- комплексные). Группа Галуа C6, т.е. из 6 элементов, образованная подстановкой (123456).

f(x) можно разложить три множителя с тригонометрическими коэффициентами (которые, видимо, можно ещё немного упростить):

${x}^{2}+ \left( 8\,\cos \left( 2/7\,\pi \right) +10\,\cos \left( 3/7 \,\pi \right) -3 \right) x+39-38\,\cos \left( 2/7\,\pi \right) $

${x}^{2}+ \left( -10\,\cos \left( 2/7\,\pi \right) -2\,\cos \left( 3/7 \,\pi \right) +2 \right) x+39-38\,\cos \left( 3/7\,\pi \right) $

${x}^{2}+ \left( 1+2\,\cos \left( 2/7\,\pi \right) -8\,\cos \left( 3/7 \,\pi \right) \right) x+20+38\,\cos \left( 2/7\,\pi \right) +38\, \cos \left( 3/7\,\pi \right)$


Спасибо, Maxal !!

[nnosipov]

Сергей Маркелов, в таком случае gap нашёл не то, что Вы обещали.

[Сергей Маркелов]

nnosipov в сообщении #547199 писал(а):

Сергей Маркелов, в таком случае gap нашёл не то, что Вы обещали.

Да. У меня есть основания считать, что у этого уравнения корень можно выразить более простым способом. Это с gap бывает, он может дать не оптимальное выражение через радикалы.

Кстати, приведённое выражение неверно. Если его подставить в исходное уравнение, не получается 0 (сейчас закончил проверку).

[nnosipov]

Сергей Маркелов в сообщении #547210 писал(а):

У меня есть основания считать, что у этого уравнения корень можно выразить более простым способом.

У Вас есть это самое выражение (в вещественных радикалах над $\mathbb{Q}$) или Вы только предполагаете, что оно должно быть? (Я всегда считал, что в олимпиадном разделе помещаются уже решённые задачи.)

[Vvp_57]

Сергей Маркелов, наверное должно быть так. Впрочем проверьте.
Уравнение:
$f(x)=x^6+49x^4+224x^3+1512x^2-2394x+9121$
а разложение такое:

${x}^{2}- \left( 2\,\cos \left( 4/7\,\pi \right) -8\,\cos \left( 8/7 \,\pi \right) -1 \right) x+39+38\,\cos \left( 2/7\,\pi \right) $

${x}^{2}-\left( 2\,\cos \left( 8/7\,\pi \right) -8\,\cos \left( 2/7 \,\pi \right)-1 \right) x+39+38\,\cos \left( 4/7\,\pi \right) $

${x}^{2}- \left( 2\,\cos \left( 2/7\,\pi \right) -8\,\cos \left( 4/7 \,\pi \right) -1 \right) x+39+38\,\cos \left( 8/7\,\pi \right) $

[Vvp_57]

nnosipov в сообщении #547215 писал(а):

........Я всегда считал, что в олимпиадном разделе помещаются уже решённые задачи.

Хочу возразить, хотя по сути согласен, что в олимпиадном разделе должны быть задачи для которых автор имеет решение.
Дело в том что встречаются задачи(такие есть и у меня), когда автору известно решение, но оно опирается на только ему
известный ход. Который собственно и был причиной возникновения задачи. А нужно общедоступное, понятное решение
без через чур замысловатых ходов. Вот такое решение и трудно бывает найти. Вопрос о корне уравнения , видимо является
таковым. К сожалению мне пока не удалось решить его, но повезло найти похожее. Которые точно имеет конкретный ответ
в радикалах. Привожу его в: topic57596.html

[nnosipov]

Сергей Маркелов в сообщении #547169 писал(а):

f(x) можно разложить три множителя с тригонометрическими коэффициентами (которые, видимо, можно ещё немного упростить):

Этот многочлен разлагается на линейные множители над $\mathbb{Q}(\zeta)$, $\zeta^7=1$.