отличие декартова и прямого произведений (группы)

[r2d2study]

Декартово произведение групп $\{ G_i | i\in I\}$ - это множество функций

$$\{ f:I \rightarrow \bigcup_{i \in I} G_i | f(i)\in G_i \}$$

с покомпонентным произведением, а прямое произведение - подгруппа этой группы, состоящая из функций с конечным носителем.

Я не понимаю вот таких утверждений: "всякая полная абелева группа $G$ изоморфна прямой сумме элементарных полных подгрупп", или первую теорему Прюфера: "всякая абелева группа ограниченного периода раскладывается в прямую сумму примарных циклических". Почему здесь можно говорить о прямой сумме, а не декартовой?

Вот, например, декартова сумма счетного числа копий $Z_2$ - удовлетворяет условию теоремы, но ведь это не прямая сумма примарных циклических?

Я пытался придумать пример множества групп, замкнутого относительно прямых сумм, подгрупп и факторгрупп, не являющегося многообразием и понял, что не понимаю этой разницы.

[JMH]

В каком смысле Вы понимаете "декартово произведение групп", в том же, что и декартово произведение множеств? Какой алгебраический смысл Вы вкладываете в такую конструкцию?

[Sonic86]

del

[r2d2study]

JMH
Я понимаю так: декартово произведение групп, как множество, совпадает с декартовым произведением соответствующих множеств. Алгебраический смысл: это будет группа, описанная как множество функций, как я написал в первом сообщении. Функции покомпонентно перемножаются.

Разницу я понимаю так: прямая сумма счетного числа $Z_2$ - множество последовательностей, состоящих из нулей и единиц, где единиц в каждой последовательности может быть лишь конечное число. Декартова - может быть бесконечное число единиц.

[bot]

Верно понимаете. В частности декартова сумма счётного числа конечных групп будет континуальна, а прямая - счётна.

[r2d2study]

Так как же тогда: декартова сумма счетного числа копий $Z_2$ по теореме Прюфера должна раскладываться в прямую сумму примарных циклических, как такое может быть?

[bot]

А чему это противоречит? Вопрос лишь в числе прямых слагаемых - оно будет континуальным.

[r2d2study]

bot
не понял, честно говоря. Вот, например, в декартовой сумме счетного числа $Z_2$ рассмотрим три элемента (занумеруем нашу сумму натуральными числами):

$$ f_1(i) = 1$$

$$ f_2(i) = \begin{cases} 0, & \text{если $i$ - четное;} \\ 1, & \text{если $i$ - нечетное.} \end{cases} $$

$$ f_3(i) = \begin{cases} 1, & \text{если $i$ - четное;} \\ 0, & \text{если $i$ - нечетное.} \end{cases} $$

Понятно, что $f_2+f_3=f_1$. А как будут эти слагаемые выглядеть в прямой сумме континуального числа копий $Z_2$? И как вообще будет устроен изоморфизм между эти двумя суммами?

[bot]

Надо бинарные последовательности рассмотреть как элементы пространства над двухэлементным полем и выбрать в нём базис Гамеля.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Извините что вмешиваюсь, но меня ваша с терминология ввела в ступор: это новые веяния?

Математическая энциклопедия, т. 4 писал(а):

ПРЯМАЯ СУММА — конструкция, широко используемая в теориях таких математич. структур, категории к-рых близки к абелевым категориям; в неабелевом случае конструкция прямой суммы обычно наз. дискретным прямым произведением. Пусть $\mathfrak U$ — нек-рый класс однотипных алгебраич. систем, содержащих одноэлементную (нулевую) подсистему. Прямой суммой или (дискретным) прямым произведением систем $X_i$, $i\in I$, из класса $\mathfrak U$ наз. подсистема прямого произведения $X=\prod_{i \in I} X_i$, состоящая из таких функций $f\colon I \to X$, все значения к-рых, кроме конечного числа, принадлежат соответствующим нулевым подсистемам. П. с. обозначается одним из следующих способов:

$$\prod\nolimits_{i\in I}^{\otimes} X_i,\quad \prod\nolimits_{i\in I}^{\oplus} X_i,\quad \sum\nolimits_{i\in I}^{.} X_i.$$

Для конечного числа слагаемых используются также обозначения

$$X_1\dot+\ldots \dot+ X_n,\quad X_1\oplus\ldots\oplus X_n.$$

Непосредственно из определений следует совпадение П. с. и прямого произведения в случае конечности числа слагаемых.

Математическая энциклопедия, т. 4 писал(а):

ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ — одна из основных общематематич. конструкций, идея к-рой принадлежит Декарту; поэтому П. п. наз. также декартовым произведением.

[bot]

(Оффтоп)

Ну это далеко не новое. Просто есть алгебраические системы в которых даже и идемпотентов нет, не то что нуля или единицы. а для таких понятие прямого произведения вообще лишено смысла. Согласно Биркгофу, класс алгебраичесиких систем описывается тождествами тогда и только тогда, когда он замкнут относительно гомоморфизмов, подсистем и декартовых произведений.
Да, помнится, был ещё термин полное прямое произведение, чтобы отличить от прямого, но потом он забылся и повсеместно вытеснился декартовым. Ну а энциклопедия - она и есть энциклопедия, в дискуссионном разделе нам много чего втуляют со ссылкой на неё - взять хотя бы точку.

[lofar]

Определения интересующих вас объектов в алгебре принято давать на категорном языке, поскольку для алгебры важны именно универсальные свойства объектов, определяемые поведением морфизмов. Дается 2 определения: произведение и копроизведение.

В случае абелевых групп: произведение = прямое произведение = декартово произведение (нет ограничения на носитель), а копроизведение = прямая сумма (конечный носитель). Важно понимать, что для других систем подобные равенства не обязательно выполняются, например, копроизведение в категории групп (необязательно абелевых) задается другой конструкцией (называемой свободным произведением групп).

[Joker_vD]

(Оффтоп)

bot в сообщении #536363 писал(а):

Просто есть алгебраические системы в которых даже и идемпотентов нет, не то что нуля или единицы. а для таких понятие прямого произведения вообще лишено смысла

То есть — "лишено смысла"?

Насчет

bot в сообщении #536363 писал(а):

Да, помнится, был ещё термин полное прямое произведение, чтобы отличить от прямого, но потом он забылся и повсеместно вытеснился декартовым.

могу ответить только цитатой оттуда же:

Математическая энциклопедия, т. 4, ст. "Прямое произведение" писал(а):

П. п. иногда наз. полным прямым произведением в отличие от дискретного прямого произведения (или прямой суммы), к-рое определяется в
тех случаях, когда дополнительная структура в множителях позволяет выделить одноэлементные подструктуры (напр., единичные подгруппы, нулевые подпространства и т. п.). Как правило, П. п. конечного числа множителей совпадает с дискретным произведением.

Так все же, что в этой теме называется прямым произведением, что — прямой суммой, что — декартовым произведением, а что — декартовой суммой?

[r2d2study]

bot в сообщении #536346 писал(а):

Надо бинарные последовательности рассмотреть как элементы пространства над двухэлементным полем и выбрать в нём базис Гамеля.

Спасибо! Это помогло, вроде бы, понял.

[bot]

Сумма или произведение - это связано с сигнатурой. В кольцах говорят о сумме, а в группах - в зависимости от названия основной операции. В полугруппах, квазигруппах понятие прямого произведения отсутствует.
Возможно с полным прямым я и напутал, в моей среде оно и не употреблялось даже - так слышал просто. Но декартово - это уж точно принималось в том же смысле как это принято в теории алгебраических систем, там просто деваться некуда, прямых произведений вообще говоря нет.
Ну, как водится, согласованности в терминологии нет и вряд ли возможно.
Как понимает эти термины ТС, написано в корневом сообщении. Это совпадает с моим представлением. Боюсь соврать, но групповики обходятся без декартовых произведений - им и прямых хватает.