Евклидово пространство как некомпакт в компакте

[bayak]

Возможно ли такое?
Например некомпактное цилиндрическое многообразие $\mathbf{R}\times S^{1}$ может быть представлено параметризованной поверхностью в компактной сфере $S^{3}$ с помощью формул:

$$\begin{cases} x_{1}=\sin\varphi\sin\theta\\ x_{2}=\cos\varphi\sin\theta\\ x_{3}=\sin a\varphi\cos\theta\\ x_{4}=\cos a\varphi\cos\theta, \end{cases}$$

где $a$ - иррациональный коэффициент.
Ещё проще это сделать с помощью поверхности уровня функции $f=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-a^{2}x_{3}^{2}-a^{2}x_{4}^{2}$, заданной на поверхности сферы $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=1$.
Аналогично цилиндрическое многообразие $\mathbf{R}^{3}\times S^{3}$ можно вложить в сферу $S^{7}$ . Следовательно всё же имеется ненулевая вероятность того, что наше евклидово пространство существует на семимерной сфере.

[alcoholist]

bayak в сообщении #533871 писал(а):

Следовательно всё же имеется ненулевая вероятность того, что наше евклидово пространство существует на семимерной сфере

топологически -- да, но не метрически... в том смысле, что существуют топологические вложения $\mathbb{R}^n\to S^m$ для любых $m\ge n$, но среди них нет ни одной изометрии (если на $\mathbb{R}^n$ евклидова структура)

(Оффтоп)

а при чем тут вероятность?

[Someone]

bayak в сообщении #533871 писал(а):

Например некомпактное цилиндрическое многообразие $\mathbf{R}\times S^{1}$ может быть представлено параметризованной поверхностью в компактной сфере $S^{3}$ с помощью формул:

$$\begin{cases} x_{1}=\sin\varphi\sin\theta\\ x_{2}=\cos\varphi\sin\theta\\ x_{3}=\sin a\varphi\cos\theta\\ x_{4}=\cos a\varphi\cos\theta, \end{cases}$$

где $a$ - иррациональный коэффициент.

Эти формулы не определяют никакой параметризованной поверхности и не определяют вложение цилиндра в $S^3$. Топология образа совершенно не такая, как у цилиндра.

(Оффтоп)

Тьфу, что за гадость у Вас вместо TeXа?

bayak в сообщении #533871 писал(а):

Ещё проще это сделать с помощью поверхности уровня функции $f=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-a^{2}x_{3}^{2}-a^{2}x_{4}^{2}$, заданной на поверхности сферы $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=1$.

Поверхности уровня Вашей функции - добропорядочные (трёхмерные) поверхности второго порядка в $\mathbb R^4$, их пересечения со сферой - компактные двумерные поверхности, ничего общего не имеющие ни с цилиндром, ни с Вашим "вложением".

-- Сб фев 04, 2012 15:28:41 --

Да, кстати, а почему Вы свой математический вопрос поместили в дискуссионных темах по физике?

[bayak]

alcoholist в сообщении #534924 писал(а):

топологически -- да, но не метрически... в том смысле, что существуют топологические вложения $\mathbb{R}^n\to S^m$ для любых $m\ge n$, но среди них нет ни одной изометрии (если на $\mathbb{R}^n$ евклидова структура)

А если расстояние мерять витками?

-- Ср фев 08, 2012 08:37:26 --

Someone в сообщении #534932 писал(а):

Эти формулы не определяют никакой параметризованной поверхности и не определяют вложение цилиндра в $S^3$. Топология образа совершенно не такая, как у цилиндра.

А почему топология образа не та? Вроде бы $\theta$ идёт по окружности, а $\varphi $ по бесконечной кривой.

-- Ср фев 08, 2012 08:44:34 --

Someone в сообщении #534932 писал(а):

Поверхности уровня Вашей функции - добропорядочные (трёхмерные) поверхности второго порядка в $\mathbb R^4$, их пересечения со сферой - компактные двумерные поверхности, ничего общего не имеющие ни с цилиндром, ни с Вашим "вложением".

Да, пожалуй, Вы правы, тут я точно заврался. Но надо будет ещё попробовать посмотреть на пересечение псевдосферы с раздувающейся сферой.

[Munin]

bayak в сообщении #536245 писал(а):

А если расстояние мерять витками?

А если бутербродами?

[Someone]

bayak в сообщении #536245 писал(а):

А почему топология образа не та?

Потому что в образе Вы к любой точке можете подойти сколь угодно близко поперёк витков, а в исходной поверхности это невозможно. Грубо говоря, в образе исходная поверхность уплотнена, и витки подходят друг к другу сколь угодно близко.

[bayak]

Munin в сообщении #536272 писал(а):

А если бутербродами?

Можно и так - типа девять с половиной мотков-витков на бутерброде.

Someone в сообщении #536538 писал(а):

Потому что в образе Вы к любой точке можете подойти сколь угодно близко поперёк витков, а в исходной поверхности это невозможно. Грубо говоря, в образе исходная поверхность уплотнена, и витки подходят друг к другу сколь угодно близко.

Ну, это не аргумент для топологии, а с точки зрения физики - сближение витков, может быть, уже и регистрируется опытами С. Шноля. Кстати, топология упомянутой псевдосферы совпадает с топологией цилиндра $S^{3}\times \mathbf{R}^{4}$, и это наводит на мысль, что на раздувающейся сфере $S^{7}$ произведение сфер $S^{3}\times S^{3}$ в процессе эволюции заметает эту псевдосферу.

[Someone]

bayak в сообщении #537907 писал(а):

Ну, это не аргумент для топологии

Извините, но топология - это как раз моя специальность. Ваша иррациональная обмотка заполняет тор всюду плотно, и по этой причине топология на этой обмотке отличается от топологии произведения $\mathbb R\times\mathbb S^1$.

bayak в сообщении #537907 писал(а):

Кстати, топология упомянутой псевдосферы совпадает с топологией цилиндра $S^{3}\times \mathbf{R}^{4}$, и это наводит на мысль, что на раздувающейся сфере $S^{7}$ произведение сфер $S^{3}\times S^{3}$ в процессе эволюции заметает эту псевдосферу.

??? Какой псевдосферы? О какой эволюции идёт речь?

[bayak]

Someone в сообщении #538084 писал(а):

Извините, но топология - это как раз моя специальность. Ваша иррациональная обмотка заполняет тор всюду плотно, и по этой причине топология на этой обмотке отличается от топологии произведения $\mathbb R\times\mathbb S^1$.

Спорить не буду, но как-то странно всё это. Вот возьмём тор $\mathbb{S}^{1}\times \mathbb{S}^{1}$ и всюду плотно обмотаем его прямой, которая на развёртке тора имеет уравнение $y=kx$, где $k$- иррационально. Разве эта обмотка не гомеоморфна исходной прямой?

Someone в сообщении #538084 писал(а):

??? Какой псевдосферы? О какой эволюции идёт речь?

Имелась ввиду псевдосфера в псевдоевклидовом пространстве сигнатуры (4,4), а эволюция тут упомянута всвязи с моей попыткой представить поверхности в динамике (во времени). Но это так - мысли вслух, лучше оставим эту тему в покое.

[Ilia_]

To bayak:
Насколько я помню, для гомеоморфизма необходимо наличие не только взаимной однозначности, но и взаимной непрерывности отображений. Для отображения $\mathbb R^1\Rightarrow\mathbb S^1\times\mathbb S^1$, предложенного вами, взаимнооднозначность есть, а вот взаимной непрерывности нет - непрерывно только прямое преобразование, при обратном же две сколь угодно близкие точки на торе могут оказаться сколь угодно далёкими на прямой. Поэтому это не гомеоморфизм.

[bayak]

Ilia_ в сообщении #538434 писал(а):

две сколь угодно близкие точки на торе могут оказаться сколь угодно далёкими на прямой

А зачем брать окрестность тора? Оперируйте только окрестностями обмотки тора и никаких противоречий не будет.

[Someone]

bayak в сообщении #538439 писал(а):

А зачем брать окрестность тора? Оперируйте только окрестностями обмотки тора и никаких противоречий не будет.

Тогда, значит, тор тут вообще ни при чём, и упоминаете Вы его без всякого смысла.

[alcoholist]

bayak в сообщении #538309 писал(а):

Спорить не буду, но как-то странно всё это. Вот возьмём тор $\mathbb{S}^{1}\times \mathbb{S}^{1}$ и всюду плотно обмотаем его прямой, которая на развёртке тора имеет уравнение $y=kx$, где $k$- иррационально. Разве эта обмотка не гомеоморфна исходной прямой?

Эта конструкция известна под названием "прообраз топологии". Именно, если у Вас есть отображение множества $X$ в топологическое пространство $Y$, то прообразы всех открытых множеств определяют некоторую топологию на $X$.

Так вот, топология, индуцированная на прямой, вложенной в тор как иррациональная обмотка, слабее исходной топологии прямой. Ведь образ интервала -- открытого множества -- не является открытым множеством в топологии тора.