2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Евклидово пространство как некомпакт в компакте
Сообщение01.02.2012, 21:20 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Возможно ли такое?
Например некомпактное цилиндрическое многообразие $\mathbf{R}\times S^{1}$ может быть представлено параметризованной поверхностью в компактной сфере $S^{3}$ с помощью формул:
$$\begin{cases}
	x_{1}=\sin\varphi\sin\theta\\
	x_{2}=\cos\varphi\sin\theta\\
	x_{3}=\sin a\varphi\cos\theta\\
	x_{4}=\cos a\varphi\cos\theta,
\end{cases}$$ где $a$ - иррациональный коэффициент.
Ещё проще это сделать с помощью поверхности уровня функции $f=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-a^{2}x_{3}^{2}-a^{2}x_{4}^{2}$, заданной на поверхности сферы $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=1$.
Аналогично цилиндрическое многообразие $\mathbf{R}^{3}\times S^{3}$ можно вложить в сферу $S^{7}$ . Следовательно всё же имеется ненулевая вероятность того, что наше евклидово пространство существует на семимерной сфере.

 Профиль  
                  
 
 Re: Евклидово пространство как некомпакт в компакте
Сообщение04.02.2012, 14:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
bayak в сообщении #533871 писал(а):
Следовательно всё же имеется ненулевая вероятность того, что наше евклидово пространство существует на семимерной сфере



топологически -- да, но не метрически... в том смысле, что существуют топологические вложения $\mathbb{R}^n\to S^m$ для любых $m\ge n$, но среди них нет ни одной изометрии (если на $\mathbb{R}^n$ евклидова структура)

(Оффтоп)

а при чем тут вероятность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Евклидово пространство как некомпакт в компакте
Сообщение04.02.2012, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
bayak в сообщении #533871 писал(а):
Например некомпактное цилиндрическое многообразие $\mathbf{R}\times S^{1}$ может быть представлено параметризованной поверхностью в компактной сфере $S^{3}$ с помощью формул:
$$\begin{cases}
 x_{1}=\sin\varphi\sin\theta\\
 x_{2}=\cos\varphi\sin\theta\\
 x_{3}=\sin a\varphi\cos\theta\\
 x_{4}=\cos a\varphi\cos\theta,
\end{cases}$$ где $a$ - иррациональный коэффициент.
Эти формулы не определяют никакой параметризованной поверхности и не определяют вложение цилиндра в $S^3$. Топология образа совершенно не такая, как у цилиндра.

(Оффтоп)

Тьфу, что за гадость у Вас вместо TeXа?

bayak в сообщении #533871 писал(а):
Ещё проще это сделать с помощью поверхности уровня функции $f=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-a^{2}x_{3}^{2}-a^{2}x_{4}^{2}$, заданной на поверхности сферы $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=1$.
Поверхности уровня Вашей функции - добропорядочные (трёхмерные) поверхности второго порядка в $\mathbb R^4$, их пересечения со сферой - компактные двумерные поверхности, ничего общего не имеющие ни с цилиндром, ни с Вашим "вложением".

-- Сб фев 04, 2012 15:28:41 --

Да, кстати, а почему Вы свой математический вопрос поместили в дискуссионных темах по физике?

 Профиль  
                  
 
 Re: Евклидово пространство как некомпакт в компакте
Сообщение08.02.2012, 07:31 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
alcoholist в сообщении #534924 писал(а):
топологически -- да, но не метрически... в том смысле, что существуют топологические вложения $\mathbb{R}^n\to S^m$ для любых $m\ge n$, но среди них нет ни одной изометрии (если на $\mathbb{R}^n$ евклидова структура)

А если расстояние мерять витками?

-- Ср фев 08, 2012 08:37:26 --

Someone в сообщении #534932 писал(а):
Эти формулы не определяют никакой параметризованной поверхности и не определяют вложение цилиндра в $S^3$. Топология образа совершенно не такая, как у цилиндра.

А почему топология образа не та? Вроде бы $\theta$ идёт по окружности, а $\varphi $ по бесконечной кривой.

-- Ср фев 08, 2012 08:44:34 --

Someone в сообщении #534932 писал(а):
Поверхности уровня Вашей функции - добропорядочные (трёхмерные) поверхности второго порядка в $\mathbb R^4$, их пересечения со сферой - компактные двумерные поверхности, ничего общего не имеющие ни с цилиндром, ни с Вашим "вложением".

Да, пожалуй, Вы правы, тут я точно заврался. Но надо будет ещё попробовать посмотреть на пересечение псевдосферы с раздувающейся сферой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Евклидово пространство как некомпакт в компакте
Сообщение08.02.2012, 10:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
bayak в сообщении #536245 писал(а):
А если расстояние мерять витками?

А если бутербродами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Евклидово пространство как некомпакт в компакте
Сообщение08.02.2012, 23:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
bayak в сообщении #536245 писал(а):
А почему топология образа не та?
Потому что в образе Вы к любой точке можете подойти сколь угодно близко поперёк витков, а в исходной поверхности это невозможно. Грубо говоря, в образе исходная поверхность уплотнена, и витки подходят друг к другу сколь угодно близко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Евклидово пространство как некомпакт в компакте
Сообщение12.02.2012, 17:54 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Munin в сообщении #536272 писал(а):
А если бутербродами?

Можно и так - типа девять с половиной мотков-витков на бутерброде.
Someone в сообщении #536538 писал(а):
Потому что в образе Вы к любой точке можете подойти сколь угодно близко поперёк витков, а в исходной поверхности это невозможно. Грубо говоря, в образе исходная поверхность уплотнена, и витки подходят друг к другу сколь угодно близко.

Ну, это не аргумент для топологии, а с точки зрения физики - сближение витков, может быть, уже и регистрируется опытами С. Шноля. Кстати, топология упомянутой псевдосферы совпадает с топологией цилиндра $S^{3}\times \mathbf{R}^{4}$, и это наводит на мысль, что на раздувающейся сфере $S^{7}$ произведение сфер $S^{3}\times S^{3}$ в процессе эволюции заметает эту псевдосферу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Евклидово пространство как некомпакт в компакте
Сообщение13.02.2012, 00:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
bayak в сообщении #537907 писал(а):
Ну, это не аргумент для топологии
Извините, но топология - это как раз моя специальность. Ваша иррациональная обмотка заполняет тор всюду плотно, и по этой причине топология на этой обмотке отличается от топологии произведения $\mathbb R\times\mathbb S^1$.

bayak в сообщении #537907 писал(а):
Кстати, топология упомянутой псевдосферы совпадает с топологией цилиндра $S^{3}\times \mathbf{R}^{4}$, и это наводит на мысль, что на раздувающейся сфере $S^{7}$ произведение сфер $S^{3}\times S^{3}$ в процессе эволюции заметает эту псевдосферу.
??? Какой псевдосферы? О какой эволюции идёт речь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Евклидово пространство как некомпакт в компакте
Сообщение13.02.2012, 19:12 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Someone в сообщении #538084 писал(а):
Извините, но топология - это как раз моя специальность. Ваша иррациональная обмотка заполняет тор всюду плотно, и по этой причине топология на этой обмотке отличается от топологии произведения $\mathbb R\times\mathbb S^1$.

Спорить не буду, но как-то странно всё это. Вот возьмём тор $\mathbb{S}^{1}\times \mathbb{S}^{1}$ и всюду плотно обмотаем его прямой, которая на развёртке тора имеет уравнение $y=kx$, где $k$- иррационально. Разве эта обмотка не гомеоморфна исходной прямой?
Someone в сообщении #538084 писал(а):
??? Какой псевдосферы? О какой эволюции идёт речь?

Имелась ввиду псевдосфера в псевдоевклидовом пространстве сигнатуры (4,4), а эволюция тут упомянута всвязи с моей попыткой представить поверхности в динамике (во времени). Но это так - мысли вслух, лучше оставим эту тему в покое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Евклидово пространство как некомпакт в компакте
Сообщение13.02.2012, 22:55 
Аватара пользователя


21/11/11
185
To bayak:
Насколько я помню, для гомеоморфизма необходимо наличие не только взаимной однозначности, но и взаимной непрерывности отображений. Для отображения $\mathbb R^1\Rightarrow\mathbb S^1\times\mathbb S^1$, предложенного вами, взаимнооднозначность есть, а вот взаимной непрерывности нет - непрерывно только прямое преобразование, при обратном же две сколь угодно близкие точки на торе могут оказаться сколь угодно далёкими на прямой. Поэтому это не гомеоморфизм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Евклидово пространство как некомпакт в компакте
Сообщение13.02.2012, 23:05 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Ilia_ в сообщении #538434 писал(а):
две сколь угодно близкие точки на торе могут оказаться сколь угодно далёкими на прямой

А зачем брать окрестность тора? Оперируйте только окрестностями обмотки тора и никаких противоречий не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Евклидово пространство как некомпакт в компакте
Сообщение13.02.2012, 23:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
bayak в сообщении #538439 писал(а):
А зачем брать окрестность тора? Оперируйте только окрестностями обмотки тора и никаких противоречий не будет.
Тогда, значит, тор тут вообще ни при чём, и упоминаете Вы его без всякого смысла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Евклидово пространство как некомпакт в компакте
Сообщение14.02.2012, 01:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
bayak в сообщении #538309 писал(а):
Спорить не буду, но как-то странно всё это. Вот возьмём тор $\mathbb{S}^{1}\times \mathbb{S}^{1}$ и всюду плотно обмотаем его прямой, которая на развёртке тора имеет уравнение $y=kx$, где $k$- иррационально. Разве эта обмотка не гомеоморфна исходной прямой?


Эта конструкция известна под названием "прообраз топологии". Именно, если у Вас есть отображение множества $X$ в топологическое пространство $Y$, то прообразы всех открытых множеств определяют некоторую топологию на $X$.

Так вот, топология, индуцированная на прямой, вложенной в тор как иррациональная обмотка, слабее исходной топологии прямой. Ведь образ интервала -- открытого множества -- не является открытым множеством в топологии тора.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group