Число корней уравнения

[Andrei94]

Найти число корней уравнения

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-3}=1$

Если привести к общему знаменателю, то получится кубическое уравнение

$x^3-7x^2+11x-3=0$

А определить сходу количество корней -- не знаю как. Или не нужно было приводить к общему знаменателю?

[Sonic86]

Можно попробовать так: число корней не более 3-х, число точек разрыва - 3, смотрим пределы функции на бесконечности и в точках разрыва (левые и правые), потом на соответствующих отрезках применяем, если получается, теорему Вейерштрасса о существовании корня непрерывной функции на отрезке. В общем, это не всегда сработает, но здесь - вполне может.

[PAV]

Производная этой функции - многочлен второй степени, его корни определяются и считаются аналитически, это дает точки минимума и максимума исходной функции, далее должно быть очевидно.

[ewert]

Sonic86 в сообщении #536064 писал(а):

А определить сходу количество корней -- не знаю как

Поскольку корни числителя заведомо не попадают на корни знаменателя, надо исследовать именно кубическое уравнение. Это (в том, что касается количества корней) легко. Определите координаты точки минимума и точки максимума. Количество корней определяется тем, лежат ли эти точки по одну сторону горизонтальной оси или по разные.

[Sonic86]

ewert в сообщении #536067 писал(а):

Поскольку корни числителя заведомо не попадают на корни знаменателя, надо исследовать именно кубическое уравнение. Это (в том, что касается количества корней) легко. Определите координаты точки минимума и точки максимума. Количество корней определяется тем, лежат ли эти точки по одну сторону горизонтальной оси или по разные.

А если, скажем, уравнение имеет вид $\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{x-a_k}=0$, где все $a_k$ различны?

[nnosipov]

Andrei94 в сообщении #536063 писал(а):

Найти число корней уравнения

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-3}=1$

На каждом из 4-х промежутков левая часть монотонно убывает. На $(-\infty;0)$ корней нет, на каждом из остальных --- ровно по одному корню. (По-моему, очевидно. Или нет?)

[ewert]

Sonic86 в сообщении #536082 писал(а):

А если, скажем, уравнение имеет вид $\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{x-a_k}=0$, где все $a_k$ различны?

А какая разница? Если бы после приведения к общему знаменателю вверху и внизу оказался бы один и тот же корень, то соответствующие скобки внизу сокращались бы и дробь тем самым не могла бы стремиться к бесконечности вблизи этого корня. А она таки стремится.

(это первое, что напрашивается; можно, конечно, и без пределов)

-- Вт фев 07, 2012 18:46:44 --

nnosipov в сообщении #536084 писал(а):

(По-моему, очевидно.

В принципе очевидно, только кой-какие заклинания насчёт пределов придётся всё-таки добавить.

[Sonic86]

ewert в сообщении #536089 писал(а):

А какая разница?

Ну в этом случае просто не надо кубическую параболу исследовать
Кажется, всегда имеет $n-1$ корень - по корню в каждом промежутке.

[Andrei94]

Sonic86 в сообщении #536064 писал(а):

Можно попробовать так: число корней не более 3-х, число точек разрыва - 3, смотрим пределы функции на бесконечности и в точках разрыва (левые и правые), потом на соответствующих отрезках применяем, если получается, теорему Вейерштрасса о существовании корня непрерывной функции на отрезке. В общем, это не всегда сработает, но здесь - вполне может.

Спасибо. Это ведь теорема?

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале $(a, b)$ найдется по крайней мере одна точка $\xi$ в которой $f(\xi) = 0$.

Только у нас ведь функция имеет разрывы на концах отрезков $[0;1]$, $[1;3]$

Почему мы имеем право тогда пользоваться этой теоремой?

[nnosipov]

ewert в сообщении #536089 писал(а):

кой-какие заклинания насчёт пределов придётся всё-таки добавить

Это да.

[Andrei94]

PAV в сообщении #536066 писал(а):

Производная этой функции - многочлен второй степени, его корни определяются и считаются аналитически, это дает точки минимума и максимума исходной функции, далее должно быть очевидно.

Спасибо. Только далее мне не очевидно.

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-3}=1$

$y=x^3-7x^2+11x-3$

$y'=3x^2-14x+11$

$3x^2-14x+11=0$

$x=1$ или $x=\frac{11}{3}$

А дальше -- мне не очевидно.

[Sonic86]

Andrei94 в сообщении #536098 писал(а):

Спасибо. Это ведь теорема?

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале $(a, b)$ найдется по крайней мере одна точка $\xi$ в которой $f(\xi) = 0$.

Угу, теорема Вейерштрасса.

Andrei94 в сообщении #536098 писал(а):

Только у нас ведь функция имеет разрывы на концах отрезков $[0;1]$, $[1;3]$

Почему мы имеем право тогда пользоваться этой теоремой?

Вместо $[a;b]$ берем $[a+\varepsilon _1;b-\varepsilon _2]$.

Sonic86 в сообщении #536096 писал(а):

Кажется, всегда имеет $n-1$ корень - по корню в каждом промежутке.

Нет, видимо, вранье: при $n=3$ получаем слишком частный случай - 2 корня.
А, понял - $n-2$ корня.

[Andrei94]

ewert в сообщении #536067 писал(а):

Sonic86 в сообщении #536064 писал(а):

А определить сходу количество корней -- не знаю как

Поскольку корни числителя заведомо не попадают на корни знаменателя, надо исследовать именно кубическое уравнение. Это (в том, что касается количества корней) легко. Определите координаты точки минимума и точки максимума. Количество корней определяется тем, лежат ли эти точки по одну сторону горизонтальной оси или по разные.

Спасибо, сейчас попробую.

$y=x^3-7x^2+11x-3$

$y'=3x^2-14x+11$

$3x^2-14x+11=0$

$x=1$ или $x=\frac{11}{3}$




Для кубического трехчлена $y(1)=2>0$

$y(\frac{11}{3})=-\frac{202}{27}<0$

По разную. Это означает, что как минимум один корень есть? Почему (есть ли такая теорема?)

-- 07.02.2012, 18:24 --

Sonic86 в сообщении #536107 писал(а):

Вместо $[a;b]$ берем $[a+\varepsilon _1;b-\varepsilon _2]$.
.

Так ведь нечестно. Ведь всегда тогда можно любой разрыв таким образом "сгладить"

[Sonic86]

Andrei94 в сообщении #536108 писал(а):

Так ведь нечестно. Ведь всегда тогда можно любой разрыв таким образом "сгладить"

В данном случае все правильно, поскольку функция в корнях знаменателя стремится к бесконечности думаю, Вы тут интуитивно поймете. Ну или можете эпсилоны руками задать.

[Andrei94]

Sonic86 в сообщении #536116 писал(а):

Andrei94 в сообщении #536108 писал(а):

Так ведь нечестно. Ведь всегда тогда можно любой разрыв таким образом "сгладить"

В данном случае все правильно, поскольку функция в корнях знаменателя стремится к бесконечности думаю, Вы тут интуитивно поймете. Ну или можете эпсилоны руками задать.

Спасибо. Получается, что 3 корня.
Теперь интересно было бы понять способ с производной!