Доказать равенство с помощью определения предела по Коши.

[shady]

Доказать равенство $\lim\limits_{x\to1}{\sin(5x+7)}=\sin12;$ c помощью определения предела функции по Коши.
Путь $\varepsilon$>0.
Рассмотрим ф-ю $f(x)=\sin(5x+7)$ в некоторой окрестности точки $x_0=1$, (0;2). Преобразуем при $x \not=1 $ модуль разности
$|f(x)-A|=|\sin(5x+7)-\sin12|=|2\sin\frac{5(x-1)}2\cos\frac{5x+19}2|=2|\sin\frac{5(x-1)}2\cos\frac{5x+19}2|$.
Учитывая, что $|\sin\frac{5(x-1)}2|\leqslant\frac{5|x-1|}2$ и $|\cos\frac{5x+19}2|\leqslant1$ для любого х из R, можно сделать оценку $|\sin(5x+7)-\sin12|\leqslant 2\frac{5|x-1|}2\cdot1=5|x-1|<\varepsilon$, из которой получаем условие $5|x-1|<\varepsilon$. Поэтому если взять $\delta=\frac{\varepsilon}5>0$, то для любого x из (0;2) и удовлетворяющего неравенству $0<|x-1|<\delta$, будет выполняться неравенство $|\sin(5x+7)-\sin12|\leqslant5|x-1|<5\delta=\varepsilon$

-- 07.02.2012, 17:44 --

Я привел правильное доказательство?

[bot]

Да