Компактно ли множество в L^2?

[MASHA67]

Компактно ли в пространстве $L^2[0,1]$ множество всех таких функций $f$ , что $t^2\le f(t)\le t$ при всех $t$?

[hippie]

Не компактно.

Это множество содержит подмножество, изометрически изоморфное шару радиуса $\frac {3}{32}$ в пространстве $L^2(a,b).$

[MASHA67]

А как вы нашли радиус шара?

[hippie]

Я невнимательно прочитал условие и перепутал пространства .
То, что я писал, относилось не к пространству $L^2[0;\ 1],$ а к пространству $C[0;\ 1].$

В пространстве $L^2[0;\ 1]$ немного сложнее. Данное множество содержит все функции равные $\frac {t+t^2}2$ за пределами отрезка $[\frac 14 ;\ \frac 34 ]$ и имеющие вид $\frac {t+t^2}2+\frac 3{32} \cdot \sin(2\pi n (t-\frac 14 ))$ (где $n$ — целое положительное число) на отрезке $[\frac 14 ;\ \frac 34 ].$ Попарные расстояния между этими функциями равны и положительны. Поэтому множество, которое содержит эти функции, не компактно.

[ewert]

Достаточно взять просто $(t-t^2)\sin^2nt$ -- эта последовательность явно не предкомпактна.

[MASHA67]

ewert в сообщении #534805 писал(а):

Достаточно взять просто $(t-t^2)\sin^2nt$ -- эта последовательность явно не предкомпактна.

А как вы получили данную последовательность? Мой преподаватель сказал что она не лежит в данном множестве....
И предкомпактно значит не вполне ограниченна, а это значит что у нее нет конечной $\epsilon$-сети, а это значит что она не сходится. Значит в множестве есть подмножество не имеющее предельной точки. Значит это не компакт. Так?

[ewert]

MASHA67 в сообщении #535994 писал(а):

А как вы получили данную последовательность? Мой преподаватель сказал что она не лежит в данном множестве....

Не лежит просто по небрежности. Имелась в виду, конечно, последовательность $f_n(t)=t^2+(t-t^2)\sin^2(nt)$ или, что то же самое, $f_n(t)=t-(t-t^2)\cos^2(nt)$. Получил очень просто и естественно: умножил быстро осциллирующий квадрат синуса на амплитудный лепесток $(t-t^2)$, только вот приподнять на $t^2$ забыл.

Очевидно, что и сама эта последовательность, и любая её подпоследовательность ни к чему не сходятся (из-за бесконечно учащающихся осцилляций фиксированной амплитуды). А это ровно и означает отсутствие предкомпактности. Тем более компактности.