асимптотика суммы делителей натурального числа

[Lion]

Возник следующий вопрос об асимптотике суммы делителей натурального числа.

Пусть $n$ --- натуральное число и $\sigma_k(n):=\sum\limits_{d\mid n} d^k$ --- сумма $k$-х степеней делителей $n$. Что можно сказать об асимптотике функции $\sigma_2(n)/n^2$?
Пока что получилось только доказать неравенство

$$\frac{1}{x}\sum\limits_{n<x}\frac{\sigma_2(n)}{n^2} > \zeta(3).$$

Я знаю, что $\frac{1}{x} \sum\limits_{n < x}\sigma_k(n)\sim \zeta(k+1) x^k$.
Еще я знаю, что $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sigma_k(n)}{n^s}=\zeta(s)\zeta(s-k)$, но это равенство справедливо только при $s>1$.
Хотелось бы получить ответ в терминах роста средних арифметических и дзета-функции Римана.

Кажется, что при $s=1$ правая часть растет как $x$, поэтому, разделив обе части на $x$, можно получить асимптотику. Но строго сделать это пока не получилось...

[Lion]

Кажется, посчитал, получается $\zeta(2)$.

правильно ли такое рассуждение.

$$N\cdot\sum\limits_{\mu=1}^N \frac{1}{\mu^2} = \left(\sum\limits_{\nu=1}^N \frac{\nu^2}{\nu^2}\right)\cdot \left(\sum\limits_{\mu=1}^N \frac{1}{\mu^2}\right)=\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n^2}\sum\limits_{\mu\nu=n}\nu^2=\sum\limits_{n=1}^N\frac{\sigma_2(n)}{n^2}.$$

Отсюда

$$\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^N\frac{\sigma_2(n)}{n^2}=\sum\limits_{\mu=1}^N\frac{1}{\mu^2}\to \zeta(2).$$

Верно?

[Sonic86]

Lion в сообщении #535981 писал(а):

правильно ли такое рассуждение.

Lion в сообщении #535981 писал(а):

$$\left(\sum\limits_{\nu=1}^N \frac{\nu^2}{\nu^2}\right)\cdot \left(\sum\limits_{\mu=1}^N \frac{1}{\mu^2}\right)=\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n^2}\sum\limits_{\mu\nu=n}\nu^2$$

По-моему, вот этот переход неверный, при $N=3$ например. В левой части $N^2=9$ слагаемых, а в правой - нет: $1+2+2=5$
Или я сам вру?
Либо надо еще рассмотрение хвоста добавить - сильно не вдумывался.
В Бухштабе было что-то аналогичное - можно там посмотреть вариант преобразования.

[Sonic86]

Lion в сообщении #535963 писал(а):

Что можно сказать об асимптотике функции $\sigma_2(n)/n^2$?

Только тогда не об асимптотике, а о среднем значении.

А! Ну вот: преобразование из Бухштаба работает (странно, но напрямую почему-то не срабатывает). Тупо пишем сумму, подставляем определение $\sigma _2(n)$:

$$ \sum\limits_{k=1}^n \frac{\sigma _2(k)}{k^2} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{\sum\limits_{d|k}d^2}{k^2} = \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{d|k} \frac{d^2}{k^2} $$

Финт номер один: меняем $\frac{d}{k}=r,$ тогда $d|k \Leftrightarrow r|k$ (в Бухштабе это не очевидно, а тут прям напрашивается). Получаем сумму, меняем порядок суммирования:

$$ \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{r|k} \frac{1}{r^2}= \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{r=1}^n \frac{[r|k]}{r^2}= \sum\limits_{r=1}^n \sum\limits_{k=1}^n \frac{[r|k]}{r^2}= $$

$$ =\sum\limits_{r=1}^n \frac{1}{r^2}\sum\limits_{k=1}^n [r|k]= \sum\limits_{r=1}^n \frac{1}{r^2}\sum\limits_{t=1}^{[n/r]} 1= \sum\limits_{r=1}^n \frac{1}{r^2}\left[\frac{n}{r}\right]=n(\zeta (3)-O(n^{-2})) $$

(здесь $[r|k]=1 \Leftrightarrow r|k$, иначе равно нулю, нотация Айверсона, а все остальные квадратные скобки - целая часть числа)