Задача.Наименьшее значение квадратного трехчлена

[azmt]

Приветствую. Имеется такая задача (№1.3 из задачника Прасолова В.В. по алгебре и анализу):
"Доказать, что для чисел $a, b ,c $, заключенных между 0 и 1 не могут одновременно выполняться неравенства: (1)
$a(1-b)>\frac14$ , $b(1-c)>\frac14$, $c(1-a)>\frac14$"
Известно, что $a(1-a)\leqslant\frac14$. Это следует из задачи №1.2, так как
функция $a-a^2$ принимает максимальное значение равное 1/4 при а=1/2.
Понятно, что на отрезке 0....1 никакие два числа а, b, c не могут быть равны, иначе неравенство (1) не будет справедливо. Предположим, что $a>b>c$; при этом 1/4<c<b<a<3/4, а также (1-a),(1-b), (1-c)>1/4; иначе очевидно (1) снова не будет справедливо. Это можно проверить подстановкой. Если я в правильном направлении, то здесь нужно найти противоречие. Например показать, что при с<a неравенства не выполняются. Подскажите, пожалуйста, следующий шаг в решении. В самом задачнике я решение подглядел и оно мне не понятно. Предлагается такое решение:
Согласно задаче №1.2 имеем $a(1-a)\leqslant\frac14$, отсюда следует, что $a(1-b)b(1-c)c(1-a)=a(1-a)b(1-b)c(1-c)\leqslant\frac14$.
Не понимаю для чего мы умножаем данные неравенства. Ведь если три рациональных числа по отдельности больше некоторого, то из этого не следует, что их произведения больше данного числа. Помогите, пожалуйста, разобраться. Вот здесь лежит книга Прасолова: http://www.mccme.ru/free-books/

[nnosipov]

azmt в сообщении #535656 писал(а):

... отсюда следует, что $a(1-b)b(1-c)c(1-a)=a(1-a)b(1-b)c(1-c)\leqslant\frac14$.

Должно быть $a(1-b)b(1-c)c(1-a)=a(1-a)b(1-b)c(1-c)\leqslant\left(\frac14\right)^3$. Возможно, опечатка.

[azmt]

Да вы правы изначально опечатка была. Должно быть a(1-a)b(1-b)c(1-c)<= (1/4)^3 Вопрос открыт

[Shadow]

Какой вопрос?
Если $a(1-b)>\frac14$ , $b(1-c)>\frac14$, $c(1-a)>\frac14$, то $a(1-b)b(1-c)c(1-a)>\frac 14\cdot\frac 14\cdot\frac 14$

[azmt]

Предварительное замечание: $a(1-b)<1$ (а), в противном случае
$(1-b)>1$ и тогда $b<0$, что противоречит условию задачи.
Пусть a(1-b)=c/m, где с и m целые числа. По правилам сравнения дробей имеем: (c/m)>(1/4) ; (4c/4m)>(m/4m). Далее 4с>m. При m=5 $4c>m$ только, если $c>1$. При этом с<4, в противном случае c/m=1, что противоречит (а). При m>5 не рассматриваем, так как в этом случае противоречие (а). Значит с может принимать значения 2 или 3. Таким образом имеем две дроби $\frac24$ и
$\frac34$. Теперь нужно доказать, что никакие две дроби из трех не равны друг другу, а именно a(1-b), b(1-c), c(1-a)

[INGELRII]

Что-то вы не туда мыслите. Для начала, никто нам не обещал, что числа рациональные. Скажем, $a=b=\frac{\pi}{10}$, подберите теперь целые $c,m$, чтобы $a(1-b)=\frac{c}{m}$? Кроме того, вы обозначили числитель этой дроби буквой $c$, которая кагбэ уже занята в задаче совсем другой переменной - не боитесь запутаться?

И наконец, вам говорят же:
Пусть $M=a(1-a)b(1-b)c(1-c)=a(1-b)b(1-c)c(1-a)$. Из того, что $a(1-a) \leqslant \frac{1}{4}$ и так далее, следует, что $M \leqslant \frac{1}{64}$. Теперь предположим, что $a(1-b)>\frac{1}{4}$ и так далее. Отсюда получаем, что $M>\frac{1}{64}$. Как по вашему, возможно ли такое число $M$?

[azmt]

INGELRII
Благодарю за ответ. Посматрите, пожалуйста, правильно ли я понимаю. На отрезке 0..1 не существует таких чисел а, b, c, которые бы при подстановке в указанные выражение, дали бы справедливое неравенство (а). Ведь, например 1/3, 1/2, 2/3 по отдельности больше 1/4 и их произведение М=0,099 > 0,015625 (1/64)

[INGELRII]

Неравенство (а) - это, я правильно понимаю, у вас то самое из предыдущего поста, датированного 13:35? Это неравенство в данной задаче ни при чем. Не при делах. Забудьте про него.

Для решения данной задачи достаточно ровно одного абзаца моего первого поста, где говорится про число $M$. Всё. Больше не надо никаких левых неравенств привлекать.

Ну смотрите: пусть у нас $xyz = pqr$. Про $x,y,z$ мы знаем, что все они $\leqslant \frac14$. Потом мы предполагаем, что все числа $p,q,r>\frac14$. Мгновенно получаем противоречие. Потому что эти два произведения между собой равны!

Вы же доказали уже, что $x=a(1-a)\leqslant \frac14$. Из тех же самых соображений верно $y=b(1-b)\leqslant \frac14$, и $z=c(1-c)\leqslant \frac14$.

Вот. Задача решена. Никаких прочих неравенств выдумывать не надо.

Вот вам та же задача, только в другой обертке. Может, так мысль будет понятнее: Петя, Боря и Вася загадали числа, и Таня, Аня и Оля тоже загадали числа. Каждый из мальчиков загадал число меньше 100. Произведение чисел, загаданных мальчиками, равно произведению чисел, загаданных девочками. Может ли быть так, что каждая девочка загадала число больше 100?

[azmt]

Дико извиняюсь. Не правильную я ссылку дал в предыдущем сообщении; я имел ввиду неравенство (1) в самом первом посте, вместо выражения (а).
Не могли девочки загадать число больше 100. Доказательство задачи я понял.