Доказать, или показать на примере, что:

[Null]

Это произведение тоже расходиться. Скорее всего у вас должно быть конечное произведение или сумма, а то $\infty<p_n$ невозможно.

[Апис]

Null в сообщении #535449 писал(а):

а то $\infty<p_n$ невозможно

(n) стремится к бесконечности, два разных значения, простое число и номер простого числа, что раньше достигнет бесконечности? Простое число? Тогда какой номер последний. Нет тут нужен другой подход, что бы обойти разговор о бесконечности. И не обязательно это должен быть сходящийся ряд

[Null]

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} + 1}}} }$ от $n$ не зависит.

[Апис]

Null в сообщении #535449 писал(а):

$\infty<p_n$

В левой части у вас актуальная бесконечность, откуда? У меня в левой части бесконечность потенциальная.

[Null]

Вы первый написали нечто странное. Я пытаюсь сказать что $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} + 1}}} }$ не имеет смысла.

[Апис]

Null в сообщении #535503 писал(а):

Вы первый написали нечто странное. Я пытаюсь сказать что

Я так и понял, но то что не имеет смысла вы обосновали неравенством, а я пытаюсь сказать, что неравенство ваше не имеет смысла.
Ну да ладно, есть предел $1 + \frac{{{p_n}}}{{{p_n} - 1}}$, а это уже кое что.

[Апис]

$\frac{2}{1} + \frac{2}{1}\frac{3}{2} + \frac{2}{1}\frac{3}{2}\frac{5}{4} + \frac{2}{1}\frac{3}{2}\frac{5}{4}\frac{7}{6} + \frac{2}{1}\frac{3}{2}\frac{5}{4}\frac{7}{6}\frac{{11}}{{10}} + ....$
$\frac{2}{1}\left( {1 + \frac{3}{2}} \right)\left( {1 + \frac{5}{4}} \right)\left( {1 + \frac{7}{6}} \right)\left( {1 + \frac{{11}}{{10}}} \right) + ....$
Предел $1 + \frac{{{p_n}}}{{{p_n} - 1}}$ стремится к двум, если принять сумму средних пробелов равную (a) и $a > {p_n}$ Можно предположить $2a < {p_{n + 1}}$ если $a < {p_{n + 1}} - a$ тогда ${p_n} < {p_{n + 1}} - a$ $a < {p_{n + 1}} - {p_n}$ Из этого следует, для всех случаев когда разница между соседними простыми числами больше суммы средних пробелов, верно утверждение $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} + 1}}} } \right)} \leqslant {p_n}$

[Sonic86]

Апис в сообщении #536946 писал(а):

Предел $1 + \frac{{{p_n}}}{{{p_n} - 1}}$ стремится к двум

О! Вы все-таки решили пользоваться матанализом?
А как же

Апис в сообщении #476591 писал(а):

Может хватит трясти каждому своей правдой.
Для вашей правды нужны числа
$\[n \to \infty \]$
Для моей правды они не нужны и поэтому ввожу новое ограничение для (n). Извините, моя работа мои ограничения для (n).

(n) - не стремится к бесконечности
$\[n \not\to \infty \]$
Да (n) какое угодно очень большое число. Но
$\[n \not\to \infty \]$

Апис в сообщении #536946 писал(а):

верно утверждение $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} + 1}}} } \right)} \leqslant {p_n}$

У Вас здесь каждое слагаемое больше 1 (тупо на калькуляторе посчитайте). Сумма бесконечного числа слагаемых, которые больше одного равна чему?

[Апис]

Цитата:

Сумма бесконечного числа слагаемых, которые больше одного равна чему?

А если слагаемых не бесконечно?
И опять, бесконечность потенциальная и бесконечность актуальная, потенциальная бесконечность задаётся, а актуальная бесконечность по шулерски достаётся из рукава. НЕ было её и опа вот она уже достигли - бесконечность.

[Sonic86]

Э-хе-хе. Почему Вы не хотите учить матан?
Я Вам что хотел сказать-то: обозначим
$S_w=\sum\limits_{n = 1}^w {\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} + 1}}} } \right)}$
Тогда $S_1>1, S_2>2, S_3>3,...$ понимаете?
Больше ничего я сказать-то и не хотел. Я даже термина $\infty$ не употребил совсем.
А Вы пишите $S_{\infty}$. Как Вы думаете чему оно равно (сразу вспоминайте: $S_1>1, S_2>2, S_3>3,...$)

[Апис]

Sonic86 в сообщении #536990 писал(а):

Тогда $S_1>1, S_2>2, S_3>3,...$ понимаете?

И продолжая этот ряд${S_4} > 5,{S_5} > 7,{S_6} > 11.....$
что можно сделать вывод сумма не может быть меньше простого числа

[Sonic86]

Апис в сообщении #536996 писал(а):

что можно сделать вывод сумма не может быть меньше простого числа

Ну пусть так, поверим на слово.
Но Вы что написали?:

Апис в сообщении #536946 писал(а):

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} + 1}}} } \right)} \leqslant {p_n}$

Здесь же "меньше либо равно", а не "больше".

[Апис]

Sonic86 в сообщении #537000 писал(а):

Ну пусть так, поверим на слово

Это уже лучше, давайте не верить, по шагу, по доказательству,

Sonic86 в сообщении #537000 писал(а):

Здесь же "меньше либо равно", а не "больше"

Больше не требует доказательства - очевидно, масса примеров, а вот меньше. Равно - конечно я замахнулся, это доказать скорее всего невозможно.

[Sonic86]

Апис в сообщении #537005 писал(а):

Больше не требует доказательства - очевидно, масса примеров, а вот меньше.

Ну так я Вам и говорю!!

Апис в сообщении #536996 писал(а):

И продолжая этот ряд${S_4} > 5,{S_5} > 7,{S_6} > 11.....$

Вы же сами пишите.
Т.е. Вы может хотите $S_w$ оценить - тут пожалуйста, вроде осмысленно (т.е. вполне можно подумать над тем, верно ли, что $S_w \leqslant p_w$). А $S_{\infty}$ оценивать бессмысленно - это просто бесконечность ($(\forall w)S_w >w \Rightarrow S_{\infty} = \infty$).
Вы численно $S_{\infty}$ считали? Посчитайте на компе - комп не врет.

[Апис]

Стоп, вы меня запутали, надо немного времени.
Можно конкретно, где оценка суммы пробелов, при достижении бесконечности. Есть рекуррентная формула, в виде произведения и вроде всё.